Vizualizare sursă pentru „Aproximare liniară”

[[Fișier:TangentGraphic2.svg|thumb|lang=ro|Tangenta în (''a'', ''f''(''a''))]]
În [[matematică]] o '''aproximare liniară''' este o aproximare a unei [[funcție |funcții]] generale folosind o [[funcție liniară]] (mai exact, o {{ill-wd| Q382497||funcție afină}}). Procedeul este utilizat pe scară largă în metoda {{ill-wd| Q2068418||diferențelor finite}} pentru a produce metode de ordinul întâi pentru rezolvarea sau aproximarea soluțiilor ecuațiilor.

== Definiție ==
Fiind dată o funcție [[număr real |reală]] de [[variabilă]] reală diferențiabilă continuu de două ori, <math>f,</math> {{ill-wd| Q1137206||teorema lui Taylor}} pentru cazul <math>n = 1</math> afirmă că
:<math> f(x) = f(a) + f^{\prime}(a)(x - a) + R_2 </math>
unde <math>R_2</math> este restul. Aproximația liniară se obține prin eliminarea restului:
:<math> f(x) \approx f(a) + f^{\prime}(a)(x - a).</math>

Aceasta este o aproximare bună atunci când <math>x</math> este suficient de aproape de {{nowrap|<math>a</math>}} deoarece o curbă, atunci când este observată local, va începe să semene cu o dreaptă. Prin urmare, expresia din partea dreaptă este doar ecuația [[tangentă  (geometrie) |tangentei]] la graficul lui <math>f</math> în <math>(a,f(a)).</math> În acest caz aproximările liniare sunt îmbunătățite în continuare atunci când [[derivată de ordinul al doilea |derivata de ordinul al doilea]], <math>f^{\prime\prime}(a) </math>, este suficient de mică (aproape de zero) (adică, la sau lângă un [[punct de inflexiune]]).

Dacă <math>f</math> este [[funcție concavă |concavă]] în intervalul dintre <math>x</math> și <math>a</math>, aproximarea va fi o supraestimare (deoarece derivata este în scădere în acel interval). Dacă <math>f</math> este [[funcție convexă |convexă]], aproximarea va fi o subestimare.<ref>{{en icon}} {{cite web |title=12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation |url=http://math.mit.edu/classes/18.013A/HTML/chapter12/section01.html |access-date=3 June 2012 |archive-date=2013-03-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130303014028/http://math.mit.edu/classes/18.013A/HTML/chapter12/section01.html |dead-url=yes }}</ref>

Aproximările liniare pentru funcțiile vectoriale de variabilă vectorială se obțin în același mod, cu derivata într-un punct înlocuită cu {{ill-wd| Q506041||matricea jacobiană}}. De exemplu, pentru o funcție reală diferențiabilă <math>f(x, y)</math> se poate aproxima <math>f(x, y)</math> în <math>(x, y)</math> aproape de <math>(a, b)</math> prin formula
:<math>f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right) + \frac{\partial f}{\partial x} \left(a,b\right)\left(x-a\right) + \frac{\partial f}{\partial y} \left(a,b\right)\left(y-b\right).</math>

Partea din dreapta este ecuația planului tangent la graficul lui <math>z=f(x, y)</math> în <math>(a, b).</math>

În cazul general al [[spațiu Banach |spațiilor Banach]] există
:<math> f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)</math>
unde <math>Df(a)</math> este {{ill-wd| Q1305350||dearivata Fréchet}} a lui <math>f</math> în <math>a.</math>

== Aplicații ==
=== Optică ===
''Optica gaussiană'' este o tehnică în [[optică geometrică |optica geometrică]] care descrie comportarea razelor de lumina în sisteme optice prin utilizarea [[aproximație Gauss |aproximației paraxiale]], în care numai razele care fac unghiuri mici cu [[axă optică |axa optică]] a sistemului sunt luate în considerare.<ref>{{en icon}} {{cite book |first1=A. |last1=Lipson |first2=S. G. |last2=Lipson |first3=H. |last3=Lipson |url=https://books.google.com/books?id=aow3o0dhyjYC&pg=PA51 |title=Optical Physics |edition=4th |year=2010 |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, Marea Britanie | page=51 |isbn=978-0-521-49345-1 }}</ref> În această aproximare, [[funcție trigonometrică |funcțiile trigonometrice]] pot fi exprimate prin funcții liniare ale unghiurilor. Optica gaussiană se aplică sistemelor în care toate suprafețele optice sunt fie plane, fie sunt porțiuni ale unei [[sferă |sfere]]. În acest caz, pentru parametrii unui sistem optic pot fi date formule simple explicite, cum ar fi pentru distanța focală, mărire și luminozitate, în funcție de formele geometrice și proprietățile materialelor elementelor constitutive.

=== Perioada unei oscilații ===
{{Articol principal|Pendul fizic}}
Perioada oscilației unui [[pendul gravitațional]] simplu depinde de [[lungime]]a sa, de [[accelerație gravitațională |accelerația gravitațională]] locală și, într-o mică măsură, de [[unghi]]ul maxim la care pendulul se îndepărtează de verticală, {{mvar|θ}}<sub>0</sub>, numit [[amplitudine]].<ref name="Milham1945">{{en icon}} {{cite book |last=Milham |first=Willis I. |title=Time and Timekeepers |year=1945 |publisher=MacMillan |pages=188–194 |oclc=1744137 }}</ref> Este independentă de [[masă |masa]] pendulului. Perioada exactă {{mvar|T}} a unui pendul simplu (timpul necesar pentru un ciclu complet al unui pendul gravitațional simplu ideal), poate fi scrisă în mai multe forme, un exemplu fiind [[serie (matematică) |seria]] infinită:<ref name="Nelson">{{en icon}} {{cite journal | last = Nelson | first = Robert |author2=M. G. Olsson | title = The pendulum – Rich physics from a simple system | journal = American Journal of Physics | volume = 54 | issue = 2 | pages = 112–121 | date = February 1987 | url = http://fy.chalmers.se/~f7xiz/TIF080/pendulum.pdf | doi = 10.1119/1.14703 | access-date = 2008-10-29 | bibcode = 1986AmJPh..54..112N | s2cid = 121907349 }}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite EB1911|wstitle= Clock |volume= 06 |last1= Beckett |first1= Edmund |last2= and three more| pages = 534&ndash;553; see page 538, second para |quote= Pendulum.—}} includes a derivation</ref>
:<math>T = 2\pi \sqrt{L\over g} \left( 1+ \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \cdots \right)</math>
unde {{mvar|L}} este lungimea pendulului iar {{mvar|g}} este [[accelerație gravitațională |accelerația gravitațională]] locală.

Totuși, dacă se ia aproximarea liniară (adică dacă amplitudinea este limitată la oscilații mici, o oscilație „mică” fiind una în care unghiul θ este suficient de mic încât {{math|sin(''θ'')}} poate fi aproximat prin {{mvar|θ}} când {{mvar|θ}} se măsoară în [[radian]]i) [[frecvență |perioada]] este:<ref>{{en icon}} {{cite book |last1=Halliday |first1=David |first2=Robert |last2=Resnick |first3= Jearl |last3=Walker |title=Fundamentals of Physics, 5th Ed. |publisher=John Wiley & Sons. |year=1997 |location=New York |page=[https://archive.org/details/fundamentalsofp000davi/page/381 381] |url=https://archive.org/details/fundamentalsofp000davi/page/381 |url-access=registration |isbn=0-471-14854-7}}</ref>
:<math>T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g} \qquad \qquad \theta_0 \ll 1</math>

În aproximarea liniară, perioada este aproximativ aceeași pentru amplitudini mici, adică „perioada este independentă de amplitudine”. Această proprietate, numită ''izocronism'', este motivul pentru care pendulele sunt atât de utile pentru cronometrare.<ref>{{en icon}} {{cite book  |last=Cooper |first=Herbert J. |title=Scientific Instruments |publisher=Hutchinson's |year=2007 |location=New York |page=162 |url=https://books.google.com/books?id=t7OoPLzXwiQC&pg=PA162 |isbn=978-1-4067-6879-4}}</ref> În acest caz, oscilații succesive ale pendulului durează același timp, chiar dacă amplitudinea se schimbă.

=== Rezistivitatea electrică ===
{{Articol principal|Rezistivitate electrică}}
Rezistivitatea electrică a majorității materialelor se modifică odată cu [[temperatură |temperatura]]. Dacă temperatura {{mvar|T}} nu variază prea mult, de obicei se utilizează o aproximare liniară:
:<math>\rho(T) = \rho_0[1+\alpha (T - T_0)]</math>
unde <math>\alpha</math> se numește „coeficient de temperatură al rezistivității electrice”<ref name=AT><!-- Conf.dr.ing. -->Antoniu Claudiu Turcu, ''Materiale conductoare'', [http://users.utcluj.ro/~aturcu/Cap.4ME.pdf Cap. 4: ''Materiale conductoare. Metale''], [[Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca]], p.&nbsp;153, accesat 2023-09-05</ref>, <math>T_0</math> este o temperatură fixă de referință (de obicei, temperatura camerei) și <math>\rho_0</math > este rezistivitatea la temperatura <math>T_0</math>. Parametrul <math>\alpha</math> este un parametru empiric ajustat din datele de măsurare. Deoarece aproximarea liniară este doar o aproximare, <math>\alpha</math> este diferită pentru diferite temperaturi de referință. Din acest motiv, se obișnuiește să se specifice temperatura la care a fost măsurat <math>\alpha</math> cu un sufix, cum ar fi <math>\alpha_{15}</math>, iar relația este valabilă doar într-un interval a temperaturilor din jurul temperaturii de referință.<ref>{{en icon}} {{cite book |first=M. R. |last=Ward |year=1971 |title=Electrical Engineering Science |pages=36–40 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-094255-2 }}</ref> Când temperatura variază într-un interval mare de temperatură, aproximarea liniară este inadecvată și ar trebui utilizată o o relație mai detaliată.

== Note ==
<references />

== Lectură suplimentară ==
*{{en icon}} {{cite book |author1=Weinstein, Alan |author2=Marsden, Jerrold E. |title=Calculus III |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1984|isbn=0-387-90985-0 |page= 775}}
*{{en icon}} {{cite book |author=Strang, Gilbert |title=Calculus |publisher=Wellesley College |year=1991|isbn=0-9614088-2-0 |page= 94}}
*{{en icon}} {{cite book |author1=Bock, David |author2=Hockett, Shirley O. |title=How to Prepare for the AP Calculus |publisher=Barrons Educational Series |location=Hauppauge, NY |year=2005 |isbn=0-7641-2382-3 |page=[https://archive.org/details/isbn_9780764177668/page/118 118] |url-access=registration |url=https://archive.org/details/isbn_9780764177668/page/118 }}
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Calcul diferențial]]
[[Categorie:Analiză numerică]]