Vizualizare sursă pentru „Anvelopă convexă”

{{redenumire|Înfășurătoare convexă}} 
[[Fișier:Extreme points.svg|thumb|Anvelopa convexă a mulțimii roșii este mulțimea convexă albastră și roșie.]]
În [[geometrie]] '''anvelopa convexă''' sau '''închiderea convexă''' a unei forme este cea mai mică [[mulțime convexă]] care o cuprinde. Anvelopa convexă poate fi definită fie ca [[intersecție (matematică) |intersecția]] tuturor mulțimilor [[Convexitate |convexe]] care conțin o submulțime dată a [[spațiu euclidian |spațiului euclidian]], fie ca mulțimea tuturor {{ill-wd|Q2627315||combinațiilor convexe}} ale punctelor din submulțimea dată. Pentru o porțiune dintr-un plan, anvelopa convexă poate fi vizualizată printr-un fir de cauciuc întins în jurul porțiunii.

Anvelopa convexă a unei [[mulțime deschisă |mulțimi deschise]] este una deschisă, iar anvelopa convexă a unei [[mulțime compactă |mulțimi compacte]] este una compactă. Orice mulțime convexă compactă este anvelopa convexă a {{ill-wd|Q1385465||punctelor sale extreme}}. [[operator (matematică)|Operatorul]] „anvelopă convexă” este un exemplu de {{ill-wd|Q10564851}}, iar orice {{ill-wd|Q4774922}} poate fi reprezentat prin aplicarea acestui operator de închidere la o mulțime finită de puncte.
Problema [[algoritm]]ilor de trasare a anvelopei convexe a unei mulțimi finite de puncte din plan sau alte spații euclidiene cu dimensiuni inferioare, precum și problema duală a intersectării [[semispațiu |semispațiilor]], sunt probleme fundamentale ale {{ill-wd|Q874709||geometriei algoritmice}}. Pentru mulțimi situate în plan sau în [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]], acestea pot fi rezolvate cu resurse de calcul de complexitatea <math>O(n\log n)</math>, iar pentru dimensiuni superioare, în cel mai rău caz cu resurse de calcul de complexitatea dată de {{ill-wd|Q17104455}}.

La fel ca pentru mulțimi de puncte, anvelopa convexă a fost studiată pentru [[poligon simplu |poligoane simple]], [[mișcare browniană]], curbe în spațiu și {{ill-wd|Q1347059||epigrafele funcțiilor}}. Anvelopa convexă are aplicații în matematică, statistică, optimizare combinatorie, economie, modelare geometrică și etologie. Structurile conexe includ {{ill-wd|Q7104528||anvelopa convexă ortogonală}}, {{ill-wd|Q28136697||straturile convexe}}, [[triangularea Delaunay]] și {{ill-wd|Q757267||pavarea Voronoi}}.

== Definiții ==
[[Fișier:ConvexHull.svg|thumb|Anvelopa convexă a unei mulțimi mărginite din plan: analogia firului de cauciuc]]
O mulțime de puncte din spațiul euclidian este definită drept convexă dacă aceasta conține toate segmentele care unesc oricare pereche de puncte ale sale. Anvelopa convexă a unei mulțimi <math>X</math> date poate fi definită prin:{{sfnp|Rockafellar|1970|page=12}}
# Mulțimea convexă minima (unică) conținând <math>X</math>
# Intersecția tuturor mulțimilor convexe conținând <math>X</math>
# Mulțimea tuturor combinațiilor convexe de puncte din <math>X</math>
# Reuniunea tuturor [[simplex]]urilor cu vârfuri în <math>X</math>
Pentru o mulțime cu frontieră din planul euclidian, cu elemente necoliniare, frontiera anvelopei convexe este linia închisă cu [[perimetru]]l minim conținând pe <math>X</math>. Se poate imagina întinderea unui fir de cauciuc în jurul întregii mulțimi <math>S</math>, iar apoi, eliberându-l, el se strânge; când se oprește, el închide anvelopa convexă a <math>S</math>.{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=3}} Această formulare nu se poate generaliza imediat pentru dimensiuni superioare: pentru o mulțime finită de puncte din spațiul tridimensional, o vecinătate a {{ill-wd| Q831672||arborelui de acoperire}} al punctelor le include cu o suprafață arbitrar de mică, mai mică decât suprafața anvelopei convexe.<ref>{{harvtxt|Williams|Rossignac|2005}}. Vezi și Douglas Zare, [https://mathoverflow.net/a/166317/440 answer to "the perimeter of a non-convex set"], [[MathOverflow]], May 16, 2014.</ref> Cu toate acestea, în dimensiuni superioare, variante ale {{ill-wd|Q3406250||problemei obstacolelor}} de a găsi o suprafață cu energie minimă pe deasupra unei forme date pot avea drept soluție anvelopa convexă.{{sfnp|Oberman|2007}}

Pentru obiectele tridimensionale, prima definiție afirmă că anvelopa convexă este cel mai mic posibil {{ill-wd| Q1434060}} convex al obiectelor.
Definiția pe baza intersecției mulțimilor convexe poate fi extinsă la [[geometrie neeuclidiană |geometriile neeuclidiene]], iar definiția pe baza combinațiilor convexe poate fi extinsă la un [[spațiu vectorial]] real sau la un [[spațiu afin]] oarecare; anvelopa convexă poate fi generalizată abstract în cadrul {{ill-wd|Q16155113||matroizilor orientați}}.{{sfnp|Knuth|1992}}

=== Echivalența definițiilor ===
[[Fișier:3D_Convex_Hull.tiff|thumb|Anvelopa convexă tridimensională a unei mulțimi grupate de 120 de puncte]]
Nu este evident că prima definiție are sens: de ce trebuie ca mulțimea convexă care cuprinde <math>X</math> să fie minimă și de ce este ea unică? Definiția a doua, intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin <math>X</math>, este [[expresie bine definită|bine definită]]. Ea este o submulțime a oricărei alte mulțimi convexe <math>Y</math> care conțin <math>X</math>, deoarece <math>Y</math> este inclusă în mulțimile care se intersectează. Ca urmare, ea este exact unica mulțime convexă minimă care conține <math>X</math>. Prin urmare, primele două definiții sunt echivalente.{{sfnp|Rockafellar|1970|page=12}}

Fiecare mulțime convexă care conține <math>X</math> trebuie (presupunând că este convexă) să conțină toate combinațiile convexe de puncte din <math>X</math>, astfel toate combinațiile convexe sunt conținute în intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin <math>X</math>. Invers, mulțimea tuturor combinațiilor convexe este ea însăși o mulțime convexă care conține <math>X</math>, deci conține și intersecția tuturor mulțimilor convexe care conțin <math>X</math>, prin urmare a doua și a treia definiție sunt echivalente.<ref name=rock12lay17>{{harvtxt|Rockafellar|1970}}, p. 12; {{harvtxt|Lay|1982}}, p. 17.</ref>

În fapt, conform {{ill-wd|Q2471737||teoremei Carathéodory}}, dacă <math>X</math> este o submulțime a spațiului euclidian <math>d</math>-dimensional, orice combinație convexă a unui număr finit de puncte din <math>X</math> este și o combinație convexă în <math>d+1</math> a punctelor din <math>X</math>. Mulțimea combinațiilor convexe ale unui <math>(d+1)</math>-{{ill|en|Tuplu{{!}}tuplu|Tuple}} de puncte este un [[simplex]]; în plan el este un [[triunghi]], iar în spațiul tridimensional este un tetraedru. Prin urmare, orice combinație convexă de puncte din <math>X</math> aparține unui simplex, ale cărui vârfuri aparțin lui <math>X</math>, iar a treia și a patra definiție sunt echivalente.<ref name=rock12lay17/>

=== Anvelopele de sus și de jos ===
Pentru calcule, uneori anvelopa convexă este împărțită în două părți. În două dimensiuni, anvelopa convexă este uneori împărțită în două părți, în anvelopa „de sus” și cea „de jos” („sus” și „jos” în sensul foii de hârtie pe care este desenată), întinzându-se între punctele cel mai „din stânga” și cel mai „din dreapta” (tot în sensul foii de hârtie) ale figurii. Mai general, pentru corpurile convexe în orice dimensiune se poate împărți corpul în zone orientate „în sus”, respectiv „în jos” (în sensul cum este privit un corp în mod obișnuit), figura de separație fiind definită de punctele care apar ca extreme în [[proiecție ortogonală |proiecția ortogonală]] în direcția verticală. Pentru corpurile tridimensionale, părțile orientate în sus și în jos ale frontierei formează discuri topologice.<ref>{{harvtxt|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008}}, p.&nbsp;6</ref> Ideea de partiționare a corpului în două zone provine dintr-o variantă eficientă a [[Algoritmul Graham|algoritmului Graham]].<ref>{{harvtxt|Andrew|1979}}</ref>

== Proprietăți topologice ==
=== Anvelope închise și deschise ===
''Anvelopa convexă închisă'' este ''{{ill-wd|Q320346||închiderea}}'' anvelopei convexe, iar ''anvelopa convexă deschisă'' este ''[[Interior (topologie)|interiorul]]'' anvelopei convexe.{{sfnp|Sontag|1982}}

Anvelopa convexă închisă a <math>X</math> este intersecția tuturor semispațiilor care conțin <math>X</math>. Dacă anvelopa convexă a <math>X</math> este deja ea însăși o [[mulțime închisă]] (asta se întâmplă, de exemplu, dacă <math>X</math> este o [[mulțime finită]] sau, mai general, o [[mulțime compactă]]), atunci ea este anvelopa convexă închisă. Totuși, o intersecție de spații închise este în sine închisă, așa că atunci când o anvelopă convexă nu este închisă nu poate fi reprezentată în acest fel.{{sfnp|Rockafellar|1970|page=99}}

Dacă anvelopa convexă deschisă a mulțimii <math>X</math> este <math>d</math>-dimensională, atunci orice punct al anvelopei aparține unei anvelope convexe deschise a cel mult <math>2d</math> puncte ale <math>X</math>. Mulțimile vârfurilor unui pătrat, al unui octaedru regulat sau al unui [[ortoplex]] sunt exemple în care sunt necesare exact <math>2d</math> puncte.<ref>{{harvtxt|Steinitz|1914}}; {{harvtxt|Gustin|1947}}; {{harvtxt|Bárány|Katchalski|Pach|1982}}</ref>

=== Conservarea proprietăților topologice ===
[[Fișier:Versiera007.svg|thumb|Vrăjitoarea lui Agnesi. Punctele de pe, sau de deasupra curbei roșii sunt un exemplu de mulțime închisă, la care anvelopa convexă este deschisă (vezi semiplanul de deasupra curbei).]]
Topologic, anvelopa convexă a unei mulțimi deschise este ea însăși una deschisă, iar anvelopa convexă a unei mulțimi compacte ea însăși compactă. Totuși, există mulțimi închise ale căror anvelope convexe nu sunt închise.<ref>{{harvtxt|Grünbaum|2003}}, p. 16; {{harvtxt|Lay|1982}}, p. 21; {{harvtxt|Sakuma|1977}}.</ref> De exemplu, mulțimea închisă

:<math>\left  \{ (x,y) \mathop{\bigg|} y\ge \frac{1}{1+x^2}\right\}</math>

(mulțimea punctelor aflate deasupra curbei {{ill-wd|Q517269}} are semiplanul de deasupra curbei drept anvelopă convexă, deschisă.<ref>Exemplul provine din {{harvtxt|Talman|1977}}, Remark 2.6.</ref>

Compactitatea anvelopelor convexe ale mulțimilor compacte din spațiile euclidiene, finite dimensional, este generalizată de {{ill-wd|Q2226697}}, conform căreia anvelopa convexă închisă a unei submulțimi slab compacte dintr-un [[spațiu Banach]] (o submulțime compactă în sensul {{ill-wd|Q505760||topologiei slabe}}) este slab compactă.{{sfnp|Whitley|1986}}

=== Puncte extreme ===
Un punct extrem al unei mulțimi convexe este un punct din mulțime care nu se află pe niciun segment de linie deschisă între oricare alte două puncte ale aceleiași mulțimi. Pentru o anvelopă convexă fiecare punct extrem trebuie să facă parte din mulțimea dată, pentru că altfel nu poate fi format ca o combinație convexă din punctele date. Conform {{ill-wd|Q642620||teoremei Kerin – Milman}}, orice mulțime convexă compactă dintr-un spațiu euclidian (sau mai general într-un {{ill-wd|Q1572357||spațiu vectorial topologic convex local}}) este anvelopa convexă a punctelor sale extreme. Totuși, acest lucru poate să nu fie adevărat pentru mulțimile convexe care nu sunt compacte; de exemplu, întregul plan euclidian și [[bilă unitate|bila unitate]] deschisă sunt ambele convexe, dar niciunul dintre ele nu are puncte extreme. {{ill-wd|Q1076274||Teoria Choquet}} extinde această teorie de la combinații de puncte extreme convexe finite, la combinații infinite (integrale) în spații mai generale.{{sfnp|Okon|2000}}

== Proprietăți geometrice și algebrice ==
=== Operator de închidere ===
Operatorul anvelopă convexă are proprietăți caracteristice unui operator de închidere:{{sfnp|Kiselman|2002}}
* Este ''extensiv'', în sensul că anvelopa convexă a oricărei mulțimi <math>X</math> este o mulțime care include mulțimea <math>X</math> (este o ''supramulțime'' a mulțimii <math>X</math>).
* Este ''[[Funcție monotonă |nedecrescător]]'', în sensul că pentru oricare două mulțimi <math>X</math> și <math>Y</math> cu <math>X\subseteq Y</math> anvelopa convexă a <math>X</math> este o submulțime a anvelopei convexe a <math>Y</math>.
* Este ''{{ill-wd|Q368988||idempotent}}'', în sensul că pentru oricare mulțime <math>X</math> anvelopa convexă a anvelopei convexe a <math>X</math> este identică cu anvelopa convexă a <math>X</math>.
Atunci când este aplicat unei mulțimi finite de puncte, acesta este operatorul de închidere al unui {{ill-wd|Q4774922}}, antimatroidul interiorului mulțimii de puncte. Astfel fiecare antimatroid poate fi reprezentat prin corpuri convexe de puncte într-un spațiu euclidian de dimensiuni suficient de mari.{{sfnp|Kashiwabara|Nakamura|Okamoto|2005}}

=== Suma Minkowski ===
Operațiile de construire a anvelopei convexe și a {{ill-wd| Q1322294||sumei Minkowski}} sunt echivalente, în sensul că suma Minkowski a anvelopelor convexe ale mulțimilor dă același rezultat ca și anvelopa convexă a sumei Minkowski a acelorași mulțimi. Aceasta duce la {{ill-wd| Q3788045}}, care limitează distanța unei sume Minkowski de anvelopa sa convexă.<ref>{{harvtxt|Krein|Šmulian|1940}}, Theorem&nbsp;3, pages&nbsp;562–563; {{harvtxt|Schneider|1993}}, Theorem&nbsp;1.1.2 (pages&nbsp;2–3) and Chapter&nbsp;3.</ref>

=== Dualitate proiectivă ===
Operația de construire a anvelopei convexe a unui set de puncte este una {{ill-wd|Q735346||dual proiectivă}}. Adică la construirea intersecției închise a unei familii de semispații, din fiecare pereche [[dualitate (matematică) |duală]] de semispații care formează spațiul se ia semispațiul care conține originea (sau un alt punct desemnat),{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=254}} nu semispațiul său [[complement (matematică)|complementar]].

== Cazuri speciale ==
=== Mulțimi finite de puncte ===
[[Fișier:Convex hull.png|thumb|Anvelopa convexă a unor puncte din plan]]
<!-- :{{Articol principal|Politop convex}} -->
Anvelopa convexă a unei mulțimi finite de puncte <math>S \subset \R^d</math> formează în plan un [[poligon convex]], sau, mai general, un [[politop convex]] în <math>\R^d</math>. Fiecare punct extrem al anvelopei este numit [[Vârf (geometrie)|vârf]], iar (conform {{ill-wd|Q642620||teoremei Krein–Milman }}) orice politop convex este anvelopa convexă a vârfurilor sale. El este unicul politop convex ale cărui vârfuri aparțin la <math>S</math> și include toată <math>S</math>.{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=3}} Pentru mulțimi de puncte aflate în poziții oarecare, anvelopa convexă este un [[simplex]].{{sfnp|Grünbaum|2003|page=57}}

Conform teoremei limitei superioare, numărul de fețe al anvelopei convexe a <math>n</math> puncte în spațiul euclidian <math>d</math>-dimensional este <math>O(n^{\lfloor d/2\rfloor})</math>.{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=256}} În particular, în două sau trei dimensiuni numărul fețelor este cel mult liniar în <math>n</math>.{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=245}}

=== Poligoane simple ===
<!-- :{{Articol principal|Anvelopa convexă a unui poligon simplu}} -->
[[Fișier:Convex hull of a simple polygon.svg|thumb|Anvelopa convexă a unui poligon simplu]]
Anvelopa convexă a unui [[poligon simplu]] include poligonul dat și este împărțită în regiuni, una din ele fiind poligonul însuși (albastru în figura alăturată). Alte regiuni, delimitate de [[lanț poligonal |lanțul poligonal]] ([[Frontieră (topologie) |frontiera]]) poligonului și de anvelopa convexă, se numesc ''buzunare''. Calculând aceeași descompunere recursiv pentru fiecare buzunar se formează o descriere ierarhică a poligonului dat, numită ''arborele diferențelor convexe''.{{sfnp|Rappoport|1992}} Reflectarea unui buzunar peste marginea acestuia de pe anvelopa convexă extinde poligonul simplu dat într-un poligon cu același perimetru și suprafață mai mare, iar {{ill-wd|Q5385324}} afirmă că acest proces de expansiune se termină în cele din urmă.{{sfnp|Demaine|Gassend|O'Rourke|Toussaint|2008}}

=== Mișcarea browniană ===
Curba generată de [[mișcarea browniană]] în plan, în orice moment fix, are probabilitatea 1 de a avea o anvelopă convexă a cărei limită formează o [[Geometria diferențială a curbelor |curbă continuă diferențiabilă]]. Totuși, pentru orice unghi <math>\theta</math> din intervalul <math>\pi/2<\theta<\pi</math> vor exista momente în timpul mișcării browniene în care particula în mișcare atinge limita corpului convex în vârful unui unghi. [[Dimensiune Hausdorff |Dimensiunea Hausdorff]] a acestei mulțimi de excepții este (cu probabilitate mare) <math>1-\pi/2\theta</math>.{{sfnp|Cranston|Hsu|March|1989}}

=== Curbe în spațiu ===
[[Fișier:Oloid structure.svg|thumb|Un oloid, anvelopa convexă a două cercuri în spațiul tridimensional]]
În cazul anvelopei convexe a unei curbe din spațiu sau a unei mulțimi finite de curbe din spațiu aflate în poziții oarecare în spațiul tridimensional, părțile frontierei departe de curbe sunt [[suprafață desfășurabilă |suprafețe desfășurabile]] și {{ill-wd|Q840376||riglate}}.{{sfnp|Sedykh|1981}} Un exemplu este [[oloid]]ul, care este anvelopa convexă a două cercuri din plane perpendiculare, fiecare trecând prin centrul celuilalt.{{sfnp|Dirnböck|Stachel|1997}} Alt exemplu este [[Sfericon|sfericonul]], anvelopa convexă a două semicercuri în plane perpendiculare având aceeași rază și același centru. Forma acestor anvelope convexe rezultă din {{ill-wd|17003552}} și sunt suprafețe obținute prin lipirea a două mulțimi convexe plane (zonele de contact ale celor două componente) cu același perimetru.{{sfnp|Seaton|2017}}

=== Funcții ===
Anvelopa convexă a unei funcții <math>f</math> pe un spațiu vectorial real este funcția al cărei epigraf este anvelopa convexă de jos a epigrafului său. Este o funcție convexa maximă unică majorată de <math>f</math>.{{sfnp|Rockafellar|1970|page=36}} Definiția poate fi extinsă la anvelopa convexă a unui set de funcții (obținută din anvelopa convexă a reuniunii epigrafelor lor sau echivalent din minimul lor punctual) și, în această formă, este duală față de operația ''{{ill-wd| Q3075186}}''.{{sfnp|Rockafellar|1970|page=149}}

== Calcul ==
<!-- {{Articol principal|Algoritmi pentru anvelopa convexă }} -->
În geometria algoritmică se cunosc o seamă de algoritmi pentru calculul anvelopei convexe a unei mulțimi finite de puncte și pentru alte obiecte geometrice. Calculul anvelopei convexe înseamnă construirea eficientă și neambiguă a reprezentării formei convexe cerute. Rezultatul constă într-o listă de inegalități liniare care descriu [[fațetă (geometrie) |fațetele]] anvelopei, un [[graf]] al fațetelor și cu care se învecinează, sau laticea [[față (geometrie) |fețelor]] anvelopei.{{sfnp|Avis|Bremner|Seidel|1997}} În două dimensiuni este suficientă lista punctelor care sunt vârfuri în ordinea ciclică în jurul anvelopei.{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=3}}

Pentru anvelopa convexă în două sau trei dimensiuni, complexitatea algoritmilor este dată de numărul de puncte date inițial <math>n</math> și numărul de puncte de pe anvelopa convexă <math>h</math>, care poate fi semnificativ mai mic ca <math>n</math>. Pentru anvelope în mai multe dimensiuni, numărul fețelor din alte dimensiuni poate și el conta. Algoritmul Graham poate calcula anvelopa convexă a <math>n</math> puncte în plan în timp de ordinul <math>O(n\log n)</math>. Pentru puncte în două sau trei dimensiuni se cunosc algoritmi mai complicați, cu performanțe în funcție de numărul de puncte ale soluției, algoritmi care calculează anvelopa convexă în timp de ordinul <math>O(n\log h)</math>. Astfel de algoritmi sunt [[algoritmul Chan]] și [[algoritmul Kirkpatrick–Seidel]].{{sfnp|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008|page=13}} Pentru dimensiuni <math>d>3</math>, timpul de calcul al anvelopei convexe este de ordinul <math>O(n^{\lfloor d/2\rfloor})</math>, în funcție de situația cea mai proastă din problemă.<ref>{{harvtxt|Chazelle|1993}}; {{harvtxt|de Berg|van Kreveld|Overmars|Schwarzkopf|2008}}, p. 256.</ref> Anvelopa convexă a unui poligon simplu din plan poate fi construită în timp de ordin liniar.<ref>{{harvtxt|McCallum|Avis|1979}}; {{harvtxt|Graham|Yao|1983}}; {{harvtxt|Lee|1983}}.</ref>

Pentru a urmări o mulțime de puncte care se modifică prin adăugări sau eliminări de puncte se poate folosi o structură de date de tip {{ill-wd| Q5318961}},{{sfnp|Chan|2012}} iar pentru puncte care se mișcă continuu, o structură de date de tip {{ill-wd|Q6410774}}.{{sfnp|Basch|Guibas|Hershberger|1999}}. Construcția anvelopei convexe este un pas premergător în alți algoritmi, care calculează „lungimea” și „diametrul” mulțimii de puncte.{{sfnp|Toussaint|1983}}

== Structuri conexe ==
{{Imagine dublă
|poz = drepta
|img-st = Orthogonal-convex-hull.svg
|img-st-marime = 200
|img-dr = Relative convex hull.svg
|img-dr-marime = 200
|com = Anvelopă convexă ortogonală
|com-dr = Anvelopă convexă relativă
}}
Și alte forme pot fi definite pentru o mulțime de puncte la fel cum este definită anvelopa convexă: prin supramulțimea minimă cu o anume proprietate, prin intersecția tuturor formelor care conțin punctele, sau prin reuniunea tuturor combinațiilor de puncte de un anumit tip. Exemple:
* {{ill-wd|Q382504||Anvelopa afină}} este cel mai mic subspațiu afin al spațiului euclidian conținând mulțimea dată, sau reuniunea tuturor combinațiilor de puncte din mulțime.{{sfnp|Westermann|1976}}
* {{ill-wd|Q209812||Spațiul vectorial generat}} este cel mai mic subspațiu liniar al spațiului vectorial care conține mulțimea dată, sau reuniunea tuturor combinațiilor de puncte din mulțime.{{sfnp|Westermann|1976}}
* {{ill-wd|Q5161031||Anvelopa conică}} sau anvelopa pozitivă a unei submulțimi a spațiului vectorial este mulțimea tuturor combinațiilor pozitive de puncte din submulțime.{{sfnp|Westermann|1976}}
* {{ill-wd|Q7936601||Anvelopa vizuală}} a unui obiect tridimensional, în funcție de câteva puncte de vedere, constă din punctele <math>p</math> astfel încât toate razele care pleacă dintr-un punct de vedere și trec printr-un punct <math>p</math> intersectează obiectul. Echivalent este intersecția conurilor neconvexe generate contururile obiectului obținute din punctele respective de vedere. Este folosită la {{ill-wd|Q4464732||reconstrucțiile 3D}} drept cea mai mare formă care produce aceleași contururi văzute din punctele de vedere date.{{sfnp|Laurentini|1994}}
* Anvelopa cercuală, sau anvelopa alfa a unei submulțimi din plan este intersecția tuturor discurilor cu o rază dată <math>1/\alpha</math> care conțin submulțimea.{{sfnp|Edelsbrunner|Kirkpatrick|Seidel|1983}}
* {{ill-wd|Q85796534||Anvelopa convexă relativă}} a unei submulțimi a unui poligon simplu bidimensional este intersecția tuturor supramulțimilor, unde o mulțime din interiorul aceluiași poligon este relativ convexă dacă conține [[geodezică |geodezicele]] dintre oricare două dintre punctele sale.{{sfnp|Toussaint|1986}}
* [[Anvelopă convexă ortogonală|Anvelopa convexă ortogonală]], sau anvelopa convexă rectilinie, este intersecția tuturor supramulțimilor ortogonal convexe și a supramulțimilor conectate, în care o mulțime este ortogonal convexă dacă conține toate segmentele dintre perechile de puncte, orientate paralel cu axele.{{sfnp|Ottmann|Soisalon-Soininen|Wood|1984}}
* Anvelopa convexă ortogonală este un caz particular a unei construcții mai generale, {{ill-wd|Q7801637||anvelopa injectivă}}, care poate fi considerată ca fiind cel mai mic {{ill-wd|Q6034319}} care conține punctele date din [[spațiu metric |spațiul metric]] dat.{{sfnp|Herrlich|1992}}
* Anvelopa convexă olomorfă este o generalizare a conceptelor similare cu {{ill-wd|Q578874||varietățile analitice complexe}}, obținută ca intersecție a mulțimilor de [[funcție olomorfă |funcții olomorfe]] care conțin mulțimea dată.{{sfnp|Rossi|1961}}

[[Triangularea Delaunay paralelă|Triangularea Delaunay]] a unei mulțimi de puncte și a dualului său, {{ill-wd| Q757267||diagrama Voronoi}}, sunt matematic conexe cu anvelopa convexă: triangularea Delaunay a unei mulțimi de puncte din <math>\R^n</math> poate fi văzută ca proiecția anvelopei convexe în <math>\R^{n+1}.</math>{{sfnp|Brown|1979}} {{ill-wd| Q4735174||Forma alfa}} a unei mulțimi finite de puncte dă o familie înglobată de obiecte geometrice (neconvexe), care, descriu anvelopa unei mulțimi de puncte la diferite niveluri de detaliu. Orice anvelopă alfa este reuniunea unor elemente ale triangulării Delaunay, alese prin compararea razelor [[cerc circumscris|cercului circumscris]] cu parametrul alfa. Mulțimea de puncte însăși este punctul final al acestei familii de anvelope, iar anvelopa sa convexă formează celălalt punct final.{{sfnp|Edelsbrunner|Kirkpatrick|Seidel|1983}} {{ill-wd|Q28136697||Straturile convexe}} ale unei mulțimi de puncte sunt o familie de poligoane convexe, cel din exterior fiind anvelopa convexă cu straturile interioare construite recursiv, din puncte care nu sunt vârfuri ale anvelopei convexe.{{sfnp|Chazelle|1985}}

== Aplicații ==
Anvelopa convexă are aplicații în diferite domenii (vezi mai jos). Astfel, în matematică, anvelopa convexă este folosită pentru a studia [[Polinom|polinoamele]],<ref name=AGKZ/>{{sfnp|Prasolov|2004}} [[Vector (fizică și matematică)|vectorii]] și valorile proprii ale [[Matrice|matricilor]],{{sfnp|Johnson|1976}} și mai multe teoreme din [[Geometrie discretă și geometrie combinatorică |geometria discretă]] implică anvelopa convexă.<ref name=P1983/> Acestea sunt utilizate în [[statistică robustă |statistici robuste]] drept conturul exterior al {{ill-wd|Q104841720||adâncimii Tukey}},{{sfnp|Rousseeuw|Ruts|Tukey|1999}} se folosesc la vizualizarea datelor bidimensionale și definesc seturi de risc în luarea deciziilor.{{sfnp|Harris|1971}} Anvelopa convexă a vectorilor indicatori ai soluțiilor în problemele [[Combinatorică|combinatorice]] este miezul {{ill-wd|Q1333872||optimizării combinatorii}} și în {{ill-wd|Q8348314||combinatorica poliedrică}}.{{sfnp|Katoh|1992}} În economie, anvelopa convexă poate fi utilizată pentru a aplica metode de [[convexitate]] pe piețele neconvexe.<ref name=N2000/> În modelarea geometrică, [[curbă Bézier |curbele Bézier]] ajută la netezirea anvelopei convexe,{{sfnp|Chen|Wang|2003}} de exemplu la măsurarea [[Carenă|carenelor]] bărcilor.{{sfnp|Mason|1908}} Și în studiul comportamentului animalelor anvelopa convexă este utilizată într-o definiție standard a [[spațiu vital |spațiului vital]].<ref name=KGM/>

=== Matematică ===
[[Fișier:Tverberg heptagon.svg|thumb|upright|Împărțirea a șapte puncte în trei sumulțimi (cele colorate diferit) cu intersecția anvelopelor lor convexe, garantat să existe pentru oricare șapte puncte din plan de teorema Tverberg.]]
{{ill-wd|Q115646||Poligoanele Newton}} ale polinoamelor de o singură variabilă și {{ill-wd| Q99705926||politopurile Newton}} ale polinoamelor multivariabilă sunt anvelope convexe ale punctelor derivate din exponenții termenilor din polinom și pot fi folosite pentru a analiza comportamentul [[asimptotă |asimptotic]] al polinomului și evaluările rădăcinilor sale.<ref name=AGKZ>{{harvtxt|Artin|1967}}; {{harvtxt|Gel'fand|Kapranov|Zelevinsky|1994}}</ref> Anvelopa convexă și polinoamele se întâlnesc, de asemenea, în {{ill-wd|Q1008566}}, conform căreia rădăcinile [[Derivată|derivatei]] unui polinom se află toate în anvelopa convexă a rădăcinilor polinomului.{{sfnp|Prasolov|2004}}

În {{ill-wd|Q2409122||analiza spectrală}}, intervalul numeric al unei matrice normale este anvelopa convexă a valorilor proprii ale acesteia.{{sfnp|Johnson|1976}} {{ill-wd|Q7382362}} descrie anvelopa convexă a elementelor unitare într-o {{ill-wd| Q263809}}.{{sfnp|Gardner|1984}} În [[Geometrie discretă și geometrie combinatorică|geometria discretă]], atât {{ill-wd| Q1471282}}, cât și {{ill-wd|Q7857350}} se referă la existența împărțirii mulțimilor de vârfuri în subseturi cu anvelope convexe care se intersectează.{{sfnp|Reay|1979}}

Definițiile unei mulțimi convexe ca find segmentele dintre punctele sale, astfel încât acestea să fie conținute în interior și a unei anvelope convexe ca intersecție a tuturor supramulțimilor convexe, se aplică atât [[Spațiu hiperbolic|spațiilor hiperbolice]], cât și [[Spațiu euclidian|spațiilor euclidiene]]. În spațiul hiperbolic este, totuși, posibil să se ia în considerare anvelopele convexe ale mulțimilor de [[punct ideal |puncte ideale]], puncte care nu aparțin spațiului hiperbolic în sine, dar se află la limita unui model al spațiului respectiv. Limitele anvelopelor convexe ale punctelor ideale ale spațiului hiperbolic tridimensional sunt analoage suprafețelor riglate din spațiul euclidian, iar proprietățile lor metrice joacă un rol important în {{ill-wd|Q1503309}} în [[Topologie|topologia]] bi- și tridimensională.{{sfnp|Epstein|Marden|1987}} Anvelopele convexe [[Hiperbolă|hiperbolice]] au fost, de asemenea, utilizate ca parte a calculului [[Triangulație|triangulațiilor]] canonice ale varietăților hiperbolice și aplicate pentru a determina echivalența [[nod (teoria grafurilor) |nodurilor]].{{sfnp|Weeks|1993}}

Vezi și secțiunea [[#Mișcarea browniană |mișcarea browniană]], pentru aplicațiile anvelopei convexe în acest domeniu și secțiunea [[#Curbe în spațiu |curbe în spațiu]], pentru aplicațiile în teoria suprafețelor desfășurabile.

===  Statistică ===
[[Fișier:Bagplot.png|thumb|O corelație. Regiunea umbrită exterioară este anvelopa convexă, iar cea umbrită mai intens din interior este conturul adâncimii Tukey de 50%.]]
În statistica robustă, anvelopa convexă furnizează o componentă cheie a graficelor de corelație, o metodă pentru vizualizarea împrăștierii unui eșantion bidimensional de puncte. Contururile adâncimilor Tukey formează o familie de mulțimi convexe, având anvelopa convexă spre exterior.{{sfnp|Rousseeuw|Ruts|Tukey|1999}}

În {{ill-wd|Q177571}} pe baze statistice, mulțimea riscurilor deciziilor aleatorii este anvelopa convexă a punctelor de risc din regulile de decizie deterministe, reguli care stau la baza acestor decizii.{{sfnp|Harris|1971}}

=== Optimizare combinatorică ===
În optimizarea combinatorie și combinatorica poliedrică, anvelopa convexă a vectorilor indicatori ai soluțiilor unei probleme combinatorice este obiectul de studiu principal. Dacă pot fi găsite fațetele acetor politopuri, descriind politopurile și intersecțiile semispațiilor, atunci pentru soluțiile optime se pot folosi algoritmii din [[programare liniară |programarea liniară]].<ref name=P1983>{{harvtxt|Pulleyblank|1983}}; v. în special afirmațiile care derivă din teorema 2.9.</ref> În {{ill-wd|Q2052203||optimizarea multiobiectiv}} se folosește și alt tip de anvelopă convexă, anvelopa convexă a vectorilor ponderați ai soluțiilor. Asta poate maximiza combinația aproape convexă a ponderilor, pe baza examinării vârfurilor anvelopei convexe, în loc de a verifica toate soluțiile posibile.{{sfnp|Katoh|1992}}

=== Economie ===
În {{ill-wd| Q702933}} al echilibrului economic general, se presupune că agenții economici au [[bugetul stabilit]] și {{ill-wd|Q4129100}}. Aceste presupuneri ale convexității în economie pot fi folosite pentru a demonstra existența unui echilibru. Dacă datele economice nu sunt convexe, se poate folosi în loc anvelopa lor convexă. Teorema Shapley–Folkman arată că pentru piețe mari această aproximare este bună și duce la un „cvasiechilibru” al pieței neconvexe.<ref name=N2000>{{harvtxt|Nicola|2000}}. See in particular Section 16.9, Non Convexity and Approximate Equilibrium, pp. 209–210.</ref>

=== Modelare geometrică ===
În {{ill-wd|Q1002535||modelarea geometrică}}, una din proprietățile esențiale ale curbelor Bézier este că trec prin punctele de control ale anvelopei convexe. De aceea, anvelopa convexă este folosită la detectarea rapidă a punctelor de intersecție ale acestor curbe.{{sfnp|Chen|Wang|2003}}

În proiectarea [[navă |navelor]], pentru a verifica dacă acestea corespund poligonului secțiunilor din proiect se folosește măsurarea anvelopei convexe a secțiunilor transversale ale carenei, metodă bună și în cazul carenelor care au părți concave.{{sfnp|Mason|1908}}

=== Etologie ===
Anvelopa convexă este cunoscută în [[etologie]] ca poligonul convex minim în studiul comportamentului animalului. Este o abordare clasică, deși poate simplistă, în estimarea spațiului vital al unui animal, pe baza punctelor în care animalul a fost observat.<ref name=KGM>{{harvtxt|Kernohan|Gitzen|Millspaugh|2001}}, p. 137–140; {{harvtxt|Nilsen|Pedersen|Linnell|2008}}</ref> Excepțiile pot face ca poligonul convex minim să fie excesiv de mare, ceea ce a motivat abordări relaxate. Acestea conțin doar un subset de observații, de exemplu, alegând unul dintre straturile convexe care este aproape de procentul țintă al eșantioanelor,{{sfnp|Worton|1995}} sau metoda poligonului convex local prin combinarea poligoanelor convexe conform {{ill-wd|Q1071612||algoritmului celor ''k'' cei mai apropiați vecini}}.{{sfnp|Getz|Wilmers|2004}}

=== Fizică cuantică ===
În [[fizică cuantică |fizica cuantică]], {{ill-wd| Q230930}} oricărui sistem cuantic — mulțimea stărilor cuantice în care se poate afla sistemul — este anvelopa convexă a punctelor extreme definite drept stări pure, iar interiorul ei drept stări mixte.{{sfnp|Rieffel|Polak|2011}} {{ill-wd|Q66380136}} arată că orice stare mixtă poate fi exprimată în mai multe feluri, ca o combinație convexă de stări pure.{{sfnp|Kirkpatrick|2006}}

== Istoric ==
Anvelopa convexă de jos a punctelor din plan a apărut, sub forma unui poligon Newton, într-o scrisoare din 1676 a lui [[Isaac Newton]] către [[Henry Oldenburg]].<ref>{{harvtxt|Newton|1676}}; v. {{harvtxt|Auel|2019}}, p.&nbsp;336, ași{{harvtxt|Escobar|Kaveh|2020}}.</ref> Termenul de „anvelopă convexă” a apărut inițial, în 1922, în recenziile lui [[Hans Rademacher]] asupra lucrărilor lui [[Dénes Kőnig]].<ref>{{harvtxt|White|1923}}, p.&nbsp;520.</ref> Conform lui [[Lloyd Dines]], din 1938 termenul de „anvelopă convexă” a devenit standard. Dines a adăugat că după părerea lui expresia este nefericită, deoarece înțelesul comun pentru „anvelopă” sugerează că s-ar referi doar la suprafața formei, în timp ce în realitate se referă și la interiorul ei.{{sfnp|Dines|1938}}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
{{refbegin|30em}}
*{{citation
 | last = Andrew | first = A. M.
 | doi = 10.1016/0020-0190(79)90072-3
 | issue = 5
 | journal = [[Information Processing Letters]]
 | pages = 216–219
 | title = Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions
 | volume = 9
 | year = 1979}}
*{{citation
 | last = Artin
 | first = Emil
 | author-link = Emil Artin
 | contribution = 2.5. Newton's Polygon
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=VixOGTdZaCQC&pg=PA37
 | mr = 0237460
 | pages = 37–43
 | publisher = Gordon and Breach
 | title = Algebraic Numbers and Algebraic Functions
 | year = 1967
 }}
*{{citation
 | last = Auel
 | first = Asher
 | issue = 3
 | journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
 | mr = 3889348
 | pages = 330–340
 | title = The mathematics of Grace Murray Hopper
 | url = https://www.ams.org/journals/notices/201903/rnoti-p330.pdf
 | volume = 66
 | year = 2019
 }}
*{{citation
 | last1 = Avis | first1 = David | author1-link = David Avis
 | last2 = Bremner | first2 = David
 | last3 = Seidel | first3 = Raimund | author3-link = Raimund Seidel
 | doi = 10.1016/S0925-7721(96)00023-5
 | issue = 5-6
 | journal = [[Computational Geometrie (journal)|Computational Geometrie]]
 | mr = 1447243
 | pages = 265–301
 | title = How good are convex hull algorithms?
 | volume = 7
 | year = 1997}}
*{{citation
 | last1 = Bárány | first1 = Imre | author1-link = Imre Bárány
 | last2 = Katchalski | first2 = Meir
 | last3 = Pach | first3 = János | author3-link = János Pach
 | doi = 10.2307/2044407
 | issue = 1
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | mr = 663877
 | pages = 109–114
 | title = Quantitative Helly-type theorems
 | volume = 86
 | year = 1982}}
*{{citation
 | last1 = Basch | first1 = Julien
 | last2 = Guibas | first2 = Leonidas J. | author2-link = Leonidas J. Guibas
 | last3 = Hershberger | first3 = John | author3-link = John Hershberger
 | citeseerx = 10.1.1.134.6921
 | doi = 10.1006/jagm.1998.0988
 | issue = 1
 | journal = [[Journal of Algorithms]]
 | mr = 1670903
 | pages = 1–28
 | title = Data structures for mobile data
 | volume = 31
 | year = 1999}}
*{{citation
 | last = Birkhoff | first = Garrett | author-link = Garrett Birkhoff
 | doi = 10.2307/1989687
 | issue = 2
 | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
 | mr = 1501815
 | pages = 357–378
 | title = Integration of functions with values in a Banach space
 | volume = 38
 | year = 1935}}
*{{citation
 | last = Brown | first = K. Q.
 | doi = 10.1016/0020-0190(79)90074-7
 | issue = 5
 | journal = [[Information Processing Letters]]
 | pages = 223–228
 | title = Voronoi diagrams from convex hulls
 | volume = 9
 | year = 1979}}
*{{citation
 | last1 = de Berg | first1 = M. | author1-link = Mark de Berg
 | last2 = van Kreveld | first2 = M. | author2-link = Marc van Kreveld
 | last3 = Overmars | first3 = Mark | author3-link = Mark Overmars
 | last4 = Schwarzkopf | first4 = O. | author4-link = Otfried Cheong
 | edition = 3rd
 | publisher = Springer
 | title = Computational Geometrie: Algorithms and Applications
 | year = 2008}}
*{{citation
 | last = Chan | first = Timothy M. | author-link = Timothy M. Chan
 | doi = 10.1142/S0218195912600096
 | issue = 4
 | journal = [[International Journal of Computational Geometrie and Applications]]
 | mr = 2994585
 | pages = 341–364
 | title = Three problems about dynamic convex hulls
 | volume = 22
 | year = 2012}}
*{{citation
 | last1 = Chang | first1 = J. S.
 | last2 = Yap | first2 = C.-K.
 | doi = 10.1007/BF02187692
 | issue = 2
 | journal = [[Discrete & Computational Geometrie]]
 | mr = 834056
 | pages = 155–182
 | title = A polynomial solution for the potato-peeling problem
 | volume = 1
 | year = 1986| doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last = Chazelle | first = Bernard | author-link = Bernard Chazelle
 | doi = 10.1109/TIT.1985.1057060
 | issue = 4
 | journal = [[IEEE Transactions on Information Theory]]
 | mr = 798557
 | pages = 509–517
 | title = On the convex layers of a planar set
 | volume = 31
 | year = 1985}}
*{{citation
 | last = Chazelle
 | first = Bernard
 | author-link = Bernard Chazelle
 | citeseerx = 10.1.1.113.8709
 | doi = 10.1007/BF02573985
 | issue = 1
 | journal = [[Discrete & Computational Geometrie]]
 | pages = 377–409
 | title = An optimal convex hull algorithm in any fixed dimension
 | url = https://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/ConvexHullAlgorithm.pdf
 | volume = 10
 | year = 1993
 }}
*{{citation
 | last1 = Chen | first1 = Qinyu
 | last2 = Wang | first2 = Guozhao
 | date = March 2003
 | doi = 10.1016/s0167-8396(03)00003-7
 | issue = 1
 | journal = Computer Aided Geometric Design
 | pages = 29–39
 | title = A class of Bézier-like curves
 | volume = 20}}
*{{citation
 | last1 = Cranston | first1 = M.
 | last2 = Hsu | first2 = P.
 | last3 = March | first3 = P.
 | issue = 1
 | journal = [[Annals of Probability]]
 | jstor = 2244202
 | mr = 972777
 | pages = 144–150
 | title = Smoothness of the convex hull of planar Brownian motion
 | volume = 17
 | year = 1989}}
*{{citation
 | last1 = Demaine | first1 = Erik D. | author1-link = Erik Demaine
 | last2 = Gassend | first2 = Blaise
 | last3 = O'Rourke | first3 = Joseph | author3-link = Joseph O'Rourke (professor)
 | last4 = Toussaint | first4 = Godfried T. | author4-link = Godfried Toussaint
 | contribution = All polygons flip finitely ... right?
 | doi = 10.1090/conm/453/08801
 | location = Providence, Rhode Island
 | mr = 2405683
 | pages = 231–255
 | publisher = [[American Mathematical Society]]
 | series = Contemporary Mathematics
 | title = Surveys on Discrete and Computational Geometrie
 | volume = 453
 | year = 2008}}
*{{citation
 | last = Dines | first = L. L. | author-link = Lloyd Dines
 | doi = 10.2307/2302604
 | issue = 4
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | jstor = 2302604
 | mr = 1524247
 | pages = 199–209
 | title = On convexity
 | volume = 45
 | year = 1938}}
*{{citation
 | last1 = Dirnböck
 | first1 = Hans
 | last2 = Stachel
 | first2 = Hellmuth
 | author2-link = Hellmuth Stachel
 | issue = 2
 | journal = Journal for Geometrie and Graphics
 | mr = 1622664
 | pages = 105–118
 | title = The development of the oloid
 | url = http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0113.pdf
 | volume = 1
 | year = 1997
 }}
*{{citation
 | last1 = Edelsbrunner | first1 = Herbert | author1-link = Herbert Edelsbrunner
 | last2 = Kirkpatrick | first2 = David G. | author2-link = David G. Kirkpatrick
 | last3 = Seidel | first3 = Raimund | author3-link = Raimund Seidel
 | doi = 10.1109/TIT.1983.1056714
 | issue = 4
 | journal = [[IEEE Transactions on Information Theory]]
 | pages = 551–559
 | title = On the shape of a set of points in the plane
 | volume = 29
 | year = 1983}}
*{{citation
 | last1 = Epstein | first1 = D. B. A. | author1-link = David B. A. Epstein
 | last2 = Marden | first2 = A. | author2-link = Albert Marden
 | editor-last = Epstein | editor-first = D. B. A. | editor-link = David B. A. Epstein
 | contribution = Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces
 | mr = 903852
 | pages = 113–253
 | publisher = Cambridge University Press | location = Cambridge
 | series = London Mathematical Society Lecture Note Series
 | title = Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984)
 | volume = 111
 | year = 1987}}
*{{citation
 | last1 = Escobar
 | first1 = Laura
 | last2 = Kaveh
 | first2 = Kiumars
 | date = September 2020
 | issue = 8
 | journal = Notices of the American Mathematical Society
 | pages = 1116–1123
 | title = Convex polytopes, algebraic geometrie, and combinatorics
 | url = https://www.ams.org/journals/notices/202008/rnoti-p1116.pdf
 | volume = 67
 }}
*{{citation
 | last = Gardner | first = L. Terrell
 | doi = 10.2307/2044692
 | issue = 1
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | mr = 722439
 | page = 171
 | title = An elementary proof of the Russo-Dye theorem
 | volume = 90
 | year = 1984}}
*{{citation
 | last1 = Gel'fand | first1 = I. M. | author1-link = Israel Gelfand
 | last2 = Kapranov | first2 = M. M. | author2-link = Mikhail Kapranov
 | last3 = Zelevinsky | first3 = A. V. | author3-link = Andrei Zelevinsky
 | contribution = 6. Newton Polytopes and Chow Polytopes
 | doi = 10.1007/978-0-8176-4771-1
 | isbn = 0-8176-3660-9
 | mr = 1264417
 | pages = 193–213
 | publisher = Birkhäuser
 | series = Mathematics: Theory & Applications
 | title = Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants
 | year = 1994}}
*{{citation
 | last1 = Getz
 | first1 = Wayne M.
 | last2 = Wilmers
 | first2 = Christopher C.
 | doi = 10.1111/j.0906-7590.2004.03835.x
 | issue = 4
 | journal = [[Ecography]]
 | pages = 489–505
 | publisher = Wiley
 | title = A local nearest-neighbor convex-hull construction of home ranges and utilization distributions
 | url = https://www.cnr.berkeley.edu/~getz/Reprints04/Getz&WilmersEcoG_SF_04.pdf
 | volume = 27
 | year = 2004
 }}
*{{citation
 | last1 = Graham | first1 = Ronald L. | author1-link = Ronald Graham
 | last2 = Yao | first2 = F. Frances | author2-link = Frances Yao
 | doi = 10.1016/0196-6774(83)90013-5
 | issue = 4
 | journal = [[Journal of Algorithms]]
 | mr = 729228
 | pages = 324–331
 | title = Finding the convex hull of a simple polygon
 | volume = 4
 | year = 1983}}
*{{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum
 | edition = 2nd
 | isbn = 9780387004242
 | publisher = Springer
 | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
 | title = Convex Polytopes
 | title-link = Convex Polytopes
 | volume = 221
 | year = 2003}}
*{{citation
 | last = Gustin | first = William
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1947-08787-5
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | mr = 20800
 | pages = 299–301
 | title = On the interior of the convex hull of a Euclidean set
 | volume = 53
 | year = 1947| doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last = Harris
 | first = Bernard
 | contribution = Mathematical models for statistical decision theory
 | contribution-url = https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/737250.pdf
 | mr = 0356305
 | pages = 369–389
 | title = Optimizing methods in statistics (Proc. Sympos., Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1971)
 | year = 1971
 | access-date = 2021-01-07
 | archive-date = 2021-02-28
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210228072623/https://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/737250.pdf
 | dead-url = yes
 }}
*{{citation
 | last = Herrlich | first = Horst | author-link = Horst Herrlich
 | department = Proceedings of the Symposium on General Topology and Applications (Oxford, 1989)
 | doi = 10.1016/0166-8641(92)90092-E
 | issue = 1-3
 | journal = [[Topology and its Applications]]
 | mr = 1173256
 | pages = 181–187
 | title = Hyperconvex hulls of metric spaces
 | volume = 44
 | year = 1992}}
*{{citation
 | last = Johnson | first = Charles R. | author-link = Charles Royal Johnson
 | doi = 10.1016/0024-3795(76)90080-x
 | issue = 1
 | journal = [[Linear Algebra and its Applications]]
 | mr = 460358
 | pages = 89–94
 | title = Normality and the numerical range
 | volume = 15
 | year = 1976| doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last1 = Kashiwabara | first1 = Kenji
 | last2 = Nakamura | first2 = Masataka
 | last3 = Okamoto | first3 = Yoshio
 | citeseerx = 10.1.1.14.4965
 | doi = 10.1016/j.comgeo.2004.05.001
 | issue = 2
 | journal = [[Computational Geometrie (journal)|Computational Geometrie]]
 | mr = 2107032
 | pages = 129–144
 | title = The affine representation theorem for abstract convex geometries
 | volume = 30
 | year = 2005}}
*{{citation
 | last = Katoh | first = Naoki
 | journal = IEICE Trans. Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences
 | pages = 321–329
 | title = Bicriteria network optimization problems
 | volume = E75-A
 | year = 1992}}
*{{citation
 | last1 = Kernohan | first1 = Brian J.
 | last2 = Gitzen | first2 = Robert A.
 | last3 = Millspaugh | first3 = Joshua J.
 | editor1-last = Millspaugh | editor1-first = Joshua
 | editor2-last = Marzluff | editor2-first = John M.
 | contribution = Analysis of animal space use and movements
 | isbn = 9780080540221
 | publisher = Academic Press
 | title = Radio Tracking and Animal Populations
 | year = 2001}}
*{{citation
 | last = Kirkpatrick | first = K. A.
 | arxiv = quant-ph/0305068
 | doi = 10.1007/s10702-006-1852-1
 | issue = 1
 | journal = [[Foundations of Physics Letters]]
 | pages = 95–102
 | title = The Schrödinger–HJW theorem
 | volume = 19
 | year = 2006}}
*{{citation
 | last = Kiselman | first = Christer O.
 | doi = 10.1090/S0002-9947-02-02915-X
 | issue = 5
 | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
 | mr = 1881029
 | pages = 2035–2053
 | title = A semigroup of operators in convexity theory
 | volume = 354
 | year = 2002| doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last = Knuth
 | first = Donald E.
 | author-link = Donald Knuth
 | doi = 10.1007/3-540-55611-7
 | isbn = 3-540-55611-7
 | location = Heidelberg
 | mr = 1226891
 | publisher = [[Springer-Verlag]]
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | title = Axioms and Hulls
 | url = http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/aah.html
 | volume = 606
 | year = 1992
 | access-date = 2021-01-07
 | archive-date = 2017-06-20
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170620062425/http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/aah.html
 | dead-url = yes
 }}
*{{citation
 | last = Kőnig | first = Dénes | author-link = Dénes Kőnig
 | date = December 1922
 | doi = 10.1007/bf01215899
 | issue = 1
 | journal = [[Mathematische Zeitschrift]]
 | pages = 208–210
 | title = Über konvexe Körper
 | volume = 14}}; see also review by [[Hans Rademacher]] (1922), {{JFM|48.0835.01}}
*{{citation
 | last1 = Krein
 | first1 = Mark
 | author1-link = Mark Krein
 | last2 = Milman
 | first2 = David
 | author2-link = David Milman
 | journal = [[Studia Mathematica]]
 | pages = 133–138
 | title = On extreme points of regular convex sets
 | url = https://eudml.org/doc/219061
 | volume = 9
 | year = 1940
 }}
*{{citation
 | last1 = Krein | first1 = M. | author1-link = Mark Krein
 | last2 = Šmulian | first2 = V.
 | doi = 10.2307/1968735
 | journal = [[Annals of Mathematics]] | series = Second Series
 | jstor = 1968735
 | mr = 2009
 | pages = 556–583
 | title = On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space
 | volume = 41
 | year = 1940| hdl = 10338.dmlcz/100106
 | hdl-access = free
 }}
*{{citation
 | last = Laurentini | first = A.
 | doi = 10.1109/34.273735
 | issue = 2
 | journal = IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence
 | pages = 150–162
 | title = The visual hull concept for silhouette-based image understanding
 | volume = 16
 | year = 1994}}
*{{citation
 | last = Lay | first = Steven R.
 | isbn = 0-471-09584-2
 | mr = 655598
 | publisher = John Wiley & Sons
 | title = Convex Sets and their Applications
 | year = 1982}}
*{{citation
 | last = Lee | first = D. T. | author-link = Der-Tsai Lee
 | doi = 10.1007/BF00993195
 | issue = 2
 | journal = International Journal of Computer and Information Sciences
 | mr = 724699
 | pages = 87–98
 | title = On finding the convex hull of a simple polygon
 | volume = 12
 | year = 1983}}
*{{citation
 | last = Mason
 | first = Herbert B.
 | page = 698
 | title = Encyclopaedia of Ships and Shipping
 | url = https://books.google.com/books?id=d3gDAAAAYAAJ&pg=PA698
 | year = 1908
 }}
*{{citation
 | last1 = McCallum | first1 = Duncan
 | last2 = Avis | first2 = David | author2-link = David Avis
 | doi = 10.1016/0020-0190(79)90069-3
 | issue = 5
 | journal = [[Information Processing Letters]]
 | mr = 552534
 | pages = 201–206
 | title = A linear algorithm for finding the convex hull of a simple polygon
 | volume = 9
 | year = 1979}}
*{{citation
 | last = Newton
 | first = Isaac
 | author-link = Isaac Newton
 | date = October 24, 1676
 | publisher = University of Oxford
 | title = Letter to Henry Oldenburg
 | url = https://www.newtonproject.ox.ac.uk/view/texts/normalized/NATP00196
 | work = The Newton Project
 }}
*{{citation
 | last = Nicola | first = Piercarlo
 | contribution = General Competitive Equilibrium
 | doi = 10.1007/978-3-662-04238-0_16
 | pages = 197–215
 | publisher = Springer
 | title = Mainstream Mathematical Economics in the 20th Century
 | year = 2000}}
*{{citation
 | last1 = Nilsen | first1 = Erlend B.
 | last2 = Pedersen | first2 = Simen
 | last3 = Linnell | first3 = John D. C.
 | year = 2008
 | doi = 10.1007/s11284-007-0421-9
 | issue = 3
 | journal = Ecological Research
 | pages = 635–639
 | title = Can minimum convex polygon home ranges be used to draw biologically meaningful conclusions?
 | volume = 23}}
*{{citation
 | last = Oberman | first = Adam M.
 | doi = 10.1090/S0002-9939-07-08887-9
 | issue = 6
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | mr = 2286077
 | pages = 1689–1694
 | title = The convex envelope is the solution of a nonlinear obstacle problem
 | volume = 135
 | year = 2007| doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last = Okon | first = T.
 | doi = 10.4171/ZAA/952
 | issue = 2
 | journal = Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen
 | mr = 1768994
 | pages = 303–314
 | title = Choquet theory in metric spaces
 | volume = 19
 | year = 2000}}
*{{citation
 | last1 = Ottmann | first1 = T.
 | last2 = Soisalon-Soininen | first2 = E.
 | last3 = Wood | first3 = Derick | author3-link = Derick Wood
 | doi = 10.1016/0020-0255(84)90025-2
 | issue = 3
 | journal = [[Information Sciences (journal)|Information Sciences]]
 | pages = 157–171
 | title = On the definition and computation of rectilinear convex hulls
 | volume = 33
 | year = 1984}}
*{{citation
 | last = Prasolov
 | first = Victor V.
 | contribution = 1.2.1 The Gauss–Lucas theorem
 | contribution-url = https://books.google.com/books?id=b1a7ye_EjZwC&pg=PA12
 | doi = 10.1007/978-3-642-03980-5
 | isbn = 3-540-40714-6
 | mr = 2082772
 | pages = 12–13
 | publisher = Springer
 | series = Algorithms and Computation in Mathematics
 | title = Polynomials
 | volume = 11
 | year = 2004
 }}
*{{citation
 | last = Pulleyblank | first = W. R. | author-link = William R. Pulleyblank
 | editor1-last = Bachem | editor1-first = Achim
 | editor2-last = Korte | editor2-first = Bernhard
 | editor3-last = Grötschel | editor3-first = Martin
 | contribution = Polyhedral combinatorics
 | doi = 10.1007/978-3-642-68874-4_13
 | pages = 312–345
 | publisher = Springer
 | title = Mathematical Programming: The State of the Art (XIth International Symposium on Mathematical Programming, Bonn 1982)
 | year = 1983}}
*{{citation
 | last = Rappoport | first = Ari
 | doi = 10.1111/1467-8659.1140235
 | issue = 4
 | journal = Computer Graphics Forum
 | pages = 235–240
 | title = An efficient adaptive algorithm for constructing the convex differences tree of a simple polygon
 | volume = 11
 | year = 1992}}
*{{citation
 | last = Reay | first = John R.
 | doi = 10.1007/BF02760885
 | issue = 3
 | journal = [[Israel Journal of Mathematics]]
 | mr = 570883
 | pages = 238–244 (1980)
 | title = Several generalizations of Tverberg's theorem
 | volume = 34
 | year = 1979}}
*{{citation
 | last1 = Rieffel | first1 = Eleanor G. | author1-link = Eleanor Rieffel
 | last2 = Polak | first2 = Wolfgang H.
 | isbn = 978-0-262-01506-6
 | pages = 215–216
 | publisher = MIT Press
 | title = Quantum Computing: A Gentle Introduction
 | title-link = Quantum Computing: A Gentle Introduction
 | year = 2011}}
*{{citation
 | last = Rockafellar | first = R. Tyrrell | author-link = R. Tyrrell Rockafellar
 | mr = 0274683
 | publisher = Princeton University Press | location = Princeton, N.J.
 | series = Princeton Mathematical Series
 | title = Convex Analysis
 | volume = 28
 | year = 1970}}
*{{citation
 | last = Rossi | first = Hugo | author-link = Hugo Rossi
 | doi = 10.2307/1970292
 | journal = [[Annals of Mathematics]]
 | jstor = 1970292
 | mr = 133479
 | pages = 470–493
 | series = Second Series
 | title = Holomorphically convex sets in several complex variables
 | volume = 74
 | year = 1961}}
*{{citation
 | last1 = Rousseeuw | first1 = Peter J. | author1-link = Peter Rousseeuw
 | last2 = Ruts | first2 = Ida
 | last3 = Tukey | first3 = John W. | author3-link = John Tukey
 | doi = 10.1080/00031305.1999.10474494
 | issue = 4
 | journal = [[The American Statistician]]
 | pages = 382–387
 | title = The bagplot: A bivariate boxplot
 | volume = 53
 | year = 1999}}
*{{citation
 | last = Sakuma | first = Itsuo
 | doi = 10.1016/0022-0531(77)90095-3
 | issue = 1
 | journal = [[Journal of Economic Theory]]
 | pages = 223–227
 | title = Closedness of convex hulls
 | volume = 14
 | year = 1977}}
*{{citation
 | last = Schneider
 | first = Rolf
 | author-link = Rolf Schneider
 | doi = 10.1017/CBO9780511526282
 | isbn = 0-521-35220-7
 | location = Cambridge
 | mr = 1216521
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = Encyclopedia of Mathematics and its Applications
 | title = Convex Bodies: The Brunn–Minkowski Theory
 | url = https://archive.org/details/convexbodiesbrun0000schn
 | volume = 44
 | year = 1993
 }}
*{{citation
 | last = Seaton | first = Katherine A.
 | arxiv = 1603.08409
 | doi = 10.1080/17513472.2017.1318512
 | issue = 4
 | journal = [[Journal of Mathematics and the Arts]]
 | mr = 3765242
 | pages = 187–202
 | title = Sphericons and D-forms: a crocheted connection
 | volume = 11
 | year = 2017}}
*{{citation
 | last = Sedykh | first = V. D.
 | issue = 6
 | journal = Trudy Seminara imeni I. G. Petrovskogo
 | mr = 630708
 | pages = 239–256
 | title = Structure of the convex hull of a space curve
 | year = 1981}}, translated in ''Journal of Soviet Mathematics'' 33 (4): 1140–1153, 1986, {{doi|10.1007/BF01086114}}
*{{citation
 | last = Sontag
 | first = Eduardo D.
 | author-link = Eduardo D. Sontag
 | issue = 1
 | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]]
 | mr = 644949
 | pages = 183–201
 | title = Remarks on piecewise-linear algebra
 | url = https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102734396
 | volume = 98
 | year = 1982
 }}
*{{citation
 | last = Steinitz | first = E. | author-link = Ernst Steinitz
 | doi = 10.1515/crll.1914.144.1
 | journal = [[Crelle's Journal|Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]
 | mr = 1580890
 | pages = 1–40
 | title = Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme. (Fortsetzung)
 | volume = 144
 | year = 1914}}
*{{citation
 | last = Talman
 | first = Louis A.
 | issue = 1-2
 | journal = Kōdai Mathematical Seminar Reports
 | mr = 463985
 | pages = 62–70
 | title = Fixed points for condensing multifunctions in metric spaces with convex structure
 | url = https://projecteuclid.org/euclid.kmj/1138833572
 | volume = 29
 | year = 1977
 }}
*{{citation
 | last = Toussaint | first = Godfried | author-link = Godfried Toussaint
 | citeseerx = 10.1.1.155.5671
 | contribution = Solving geometric problems with the rotating calipers
 | title = Proceedings of IEEE MELECON '83, Athens
 | year = 1983}}
*{{citation
 | last = Toussaint | first = Godfried | author-link = Godfried Toussaint
 | contribution = An optimal algorithm for computing the relative convex hull of a set of points in a polygon
 | pages = 853–856
 | publisher = North-Holland
 | title = Proceedings of EURASIP, Signal Processing III: Theories and Applications, Part 2
 | year = 1986}}
*{{citation
 | last = Weeks | first = Jeffrey R. | author-link = Jeffrey Weeks (mathematician)
 | doi = 10.1016/0166-8641(93)90032-9
 | issue = 2
 | journal = [[Topology and Its Applications]]
 | mr = 1241189
 | pages = 127–149
 | title = Convex hulls and isometries of cusped hyperbolic 3-manifolds
 | volume = 52
 | year = 1993}}
*{{citation
 | last = Westermann | first = L. R. J.
 | doi = 10.1016/1385-7258(76)90065-2
 | issue = 2
 | journal = [[Indagationes Mathematicae]]
 | mr = 0404097
 | pages = 179–184
 | title = On the hull operator
 | volume = 38
 | year = 1976| doi-access = free
 }}
*{{citation
 | last = White | first = F. Puryer
 | date = April 1923
 | issue = 68
 | journal = Science Progress in the Twentieth Century
 | jstor = 43432008
 | pages = 517–526
 | title = Pure mathematics
 | volume = 17}}
*{{citation
 | last = Whitley | first = Robert
 | doi = 10.2307/2046536
 | issue = 2
 | journal = [[Proceedings of the American Mathematical Society]]
 | mr = 835903
 | pages = 376–377
 | title = The Kreĭn-Šmulian theorem
 | volume = 97
 | year = 1986}}
*{{citation
 | last1 = Williams | first1 = Jason
 | last2 = Rossignac | first2 = Jarek
 | editor1-last = Kobbelt | editor1-first = Leif
 | editor2-last = Shapiro | editor2-first = Vadim
 | contribution = Tightening: curvature-limiting morphological simplification
 | doi = 10.1145/1060244.1060257
 | hdl = 1853/3736
 | pages = 107–112
 | publisher = ACM
 | title = Proceedings of the Tenth ACM Symposium on Solid and Physical Modeling 2005, Cambridge, Massachusetts, USA, June 13-15, 2005
 | year = 2005}}
*{{citation
 | last = Worton | first = Bruce J.
 | doi = 10.2307/2533254
 | issue = 4
 | journal = [[Biometrics (journal)|Biometrics]]
 | jstor = 2533254
 | pages = 1206-1215
 | title = A convex hull-based estimator of home-range size
 | volume = 51
 | year = 1995}}
{{refend}}

== Legături externe ==
* {{en icon}} [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Convex_hull Convex hull] ({{ro|Anvelopa convexă}}) la ''Encyclopedia of Mathematics'', EMS Press, Springer, 2001
* {{en icon}} [https://mathworld.wolfram.com/ConvexHull.html Convex Hull], ({{ro|Anvelopa convexă}}) la Mathworld

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Operatori de închidere]]
[[Categorie:Geometrie algoritmică]]
[[Categorie:Geometrie convexă]]