Vizualizare sursă pentru „Anulator”

În [[matematică]] '''anulatorul''' unei [[submulțime |submulțimi]] {{mvar|S}} a unui {{ill-wd| Q18848|modul (matematică)|modul}} peste un [[inel (matematică) |inel]] este [[ideal (teoria inelelor) |idealul]] format din elementele inelului care dau întotdeauna zero atunci când sunt înmulțite cu oricare dintre elementele lui {{mvar|S}}.<ref name=ACV><!-- Conf.dr. -->Aurelian Claudiu Volf, [https://www.math.uaic.ro/~volf/depozit/Aritmetica%20in%20inele%20curs%202020.pdf ''Aritmetica în inele''] (curs, p. 67), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], accesat 2023-05-09</ref>

Peste un [[domeniu de integritate]], un modul care are un anulator diferit de zero este un modul de {{ill-wd| Q382874|torsiune (algebră)|torsiune}}, iar un modul de torsiune {{ill-wd| Q1340572||finit generat}} are un anulator diferit de zero.

Definiția de mai sus se aplică și în cazul [[inel comutativ |inelelor necommutative]], unde '''anulatorul stâng''' al unui modul stâng este un ideal stâng, iar '''anulatorul drept''', al un modul drept este un ideal drept.

== Definiții ==
Fie ''R'' un inel, iar ''M'' un ''R''-modul stâng. Se alege o [[mulțime vidă |submulțime nevidă]] ''S'' din ''M''. ''Anulatorul'' lui ''S'', notat <math>\mathrm{Ann}_R(S),</math> este mulțimea tuturor elementelor ''r'' din ''R'' astfel încât pentru toate ''s'' din ''S'', {{math|1=''rs'' = 0}}.<ref>Pierce (1982), p. 23.</ref> În notația folosită pentru mulțimi,
:<math>\mathrm{Ann}_R(S) = \{r\in R\mid rs = 0</math> pentru toate <math> s\in S \}</math>
este mulțimea tuturor elementelor lui ''R'' care „anulează” ''S'' (elementele pentru care ''S'' este o mulțime de torsiune). Submulțimile de module drepte pot fi folosite și ele după schimbarea „{{math|1=''sr'' = 0}}" în definiție.

Anulatorul unui singur element ''x'' se scrie de obicei <math>\mathrm{Ann}_R(x),</math> în loc de <math>\mathrm{Ann}_R(\{x\}).</math><ref name=ACV/> Dacă inelul ''R'' rezultă din context, indicele ''R'' poate fi omis.

Deoarece ''R'' este un modul peste el însuși, ''S'' poate fi considerată o submulțime a lui ''R'' însuși și întrucât ''R'' este atât un ''R'' drept, cât și unul stâng, notația trebuie modificată ușor pentru a indica partea stângă sau dreaptă. Dacă este nevoie de a distinge anulatorii stângi sau drepți se folosește  <math>\ell.\!\mathrm{Ann}_R(S)</math> și <math>r.\!\mathrm{Ann}_R(S)</math> sau o schemă cu indici similară.

Dacă ''M'' este un ''R''-modul  și <math>\mathrm{Ann}_R(M) =  0,</math> atunci ''M'' este numit '''modul fidel'''.

== Proprietăți ==
Dacă ''S'' este o submulțime a unui ''R''-modul stâng ''M'', atunci {{math|Ann(''S'')}} este un ideal al lui ''R''.

Dacă „S” este un submodul al lui ''M'', atunci Ann<sub>''R''</sub>(''S'') este un ideal bilateral: {{math|1=(''ac'')''s'' = ''a''(''cs'') = 0}}, deoarece ''cs'' este un alt element al lui ''S''.<ref>Pierce (1982), p. 23, Lemma b, item (i).</ref>

Dacă ''S'' este un submodul al lui ''M'' și ''N'' este submodulul lui ''M'' generat de ''S'', atunci în general {{math|Ann<sub>''R''</sub>(''N'')}} este o submulțime a lui {{math|Ann<sub>''R''</sub>(''S'')}}, dar nu sunt neapărat egale. Dacă ''R'' este [[inel comutativ |comutativ]], atunci egalitatea este valabilă.

''M'' poate fi văzut și ca un modul {{math|''R''/Ann<sub>''R''</sub>(''M'')}} folosind acțiunea <math>\overline{r} m:=rm\,</math>. De altfel, nu este întotdeauna posibil să se transforme un modul ''R'' într-un modul ''R/I'' în acest fel, dar dacă idealul ''I'' este o submulțime a anulatorului lui ''M'', atunci această acțiune este [[expresie bine definită |bine definită]]. Considerat ca un modul {{math|''R''/Ann<sub>''R''</sub>(''M'')}}, ''M'' este automat un modul fidel.

=== La inele comutative ===
În această secțiune fie <math>R</math> un inel comutativ și <math>M</math> un <math>R</math>-modul finit generat (pe scurt, finit).

==== Relația cu suportul ====
Deoarece [[suportul unui modul]] este definit ca
:<math>\operatorname{Supp}M = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}R \mid M_\mathfrak{p} \neq 0 \},</math>
când modulul este finit generat, există relația
:<math>V(\operatorname{Ann}_R(M)) = \operatorname{Supp}M</math>,
unde <math>V(\cdot)</math> este mulțimea [[ideal prim |idealelor prime]] conținând submulțimea.<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Lemma 10.39.5 (00L2)—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00L2|website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-13}}</ref>

==== Șiruri exacte scurte ====
Fiind dat {{ill-wd| Q1326955||șirul exact}} scurt de module
:<math>0 \to M' \to M \to M'' \to 0,</math>
proprietatea suportului<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00L3|website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-13}}</ref>
:<math>\operatorname{Supp}M = \operatorname{Supp}M' \cup \operatorname{Supp}M'',</math>
împreună cu relația cu anihilatorul implică
:<math>V(\operatorname{Ann}_R(M)) = V(\operatorname{Ann}_R(M')) \cup V(\operatorname{Ann}_R(M'')).</math>
Mai precis, există relațiile
:<math>\operatorname{Ann}_R(M') \cap \operatorname{Ann}_R(M'') \supseteq \operatorname{Ann}_R(M) \supseteq \operatorname{Ann}_R(M') \operatorname{Ann}_R(M''). </math>

==== Module factor și anulatori ====
Fie un ideal <math>I \subseteq R</math> și <math>M</math> un modul finit. Atunci pe suport există relația
:<math>\text{Supp}(M/IM) = \operatorname{Supp}M \cap V(I).</math>
Aceasta dă relația cu anulatorul<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Lemma 10.39.9 (00L3)—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/00L3|website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-13}}</ref>
:<math>V(\text{Ann}_R(M/IM)) = V(\text{Ann}_R(M)) \cap V(I).</math>

== Exemple ==
=== Peste numerele întregi ===
Peste <math>\Z</math> orice modul finit generat este complet clasificat ca suma directă a părții sale libere cu partea sa de torsiune din teorema fundamentală a grupurilor abeliene. Atunci anulatorul unui modul finit este netrivial numai dacă este în întregime de torsiune. Asta deoarece
:<math>\text{Ann}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}^{\oplus k}) = \{ 0 \} = (0)</math>
deoarece singurul element care anulează orice din <math>\Z</math> este <math>0</math>. De exemplu, anulatorul lui <math>\Z/2 \oplus \Z/3</math> este
:<math>\operatorname{Ann}_\ Z(\Z/2 \oplus \Z/3) = (6) = (\operatorname{cmmmc}(2,3)),</math>
idealul generat de <math>(6)</math>. De fapt, anulatorul unui modul de torsiune
:<math>M \cong \bigoplus_{i=1}^n (\Z/a_i)^{\oplus k_i}</math>
este [[izomorfism |izomorf]] cu idealul generat de [[cel mai mic multiplu comun]], <math>(\operatorname{cmmmc}(a_1, \ldots, a_n))</math>. Acest lucru arată că anulatorii pot fi clasificați cu ușurință peste numerele întregi.

=== Peste un inel comutativ ''R'' ===
De fapt, există un calcul similar care poate fi făcut pentru orice modul finit peste un inel comutativ <math>R</math>. Definiția faptului că <math>M</math> este finit implică existența unui șir corect, numit prezentare, dat de
:<math>R^{\oplus l} \xrightarrow{\phi} R^{\oplus k} \to M \to 0</math>
unde <math>\phi</math> este din <math>\operatorname{Mat}_{k,l}(R)</math>. Scriind <math>\phi</math> explicit ca o [[matrice]] se obține
:<math>\phi = \begin{bmatrix}
\phi_{1,1} & \cdots & \phi_{1,n} \\
\vdots &  & \vdots \\
\phi_{n,1} & \cdots & \phi_{n,n}
\end{bmatrix}</math>
deoarece <math>M</math> are descompunerea sumei directe
:<math>M = \bigoplus_{i=1}^k \frac{R}{(\phi_{i,1}(1), \ldots, \phi_{i,n}(1))}</math>

dacă se scriu toate aceste ideale ca
:<math>I_i = (\phi_{i,1}(1), \ldots, \phi_{i,n}(1))</math>
atunci idealul <math>I</math> dat de
:<math>V(I) = \bigcup^{n}_{i=1}V(I_i)</math>
prezintă anulatorul.

=== Peste ''k''[''x'',''y''] ===
Peste inelul comutativ <math>k[x,y]</math> pentru un [[corp (matematică) |corp]] <math>k</math>, anulatorul modulului
:<math>M = \frac{k[x,y]}{(x^2 - y)} \oplus \frac{k[x,y]}{(y - 3)}</math>
este dat de idealul
:<math>\text{Ann}_{k[x,y]}(M) = ((x^2 - y)(y - 3)).</math>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation  |last1=Anderson |first1=Frank W.   |last2=Fuller |first2=Kent R.  |title=Rings and categories of modules   |series=[[Graduate Texts in Mathematics]]   |volume=13   |edition=2   |publisher=Springer-Verlag  |place=New York   |year=1992   |pages=x+376   |isbn=0-387-97845-3  |mr=1245487 |doi=10.1007/978-1-4612-4418-9}}
* {{en icon}} Israel Nathan Herstein (1968) ''Noncommutative Rings'', Carus Mathematical Monographs #15, [[Mathematical Association of America]], page 3.
* {{en icon}} {{Citation | last1=Lam | first1=Tsit Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] No. 189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999| volume=189 |pages=228–232 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8}}
* {{en icon}} Richard S. Pierce. ''Associative algebras''. [[Graduate Texts in Mathematics]], Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, {{ISBN|978-0-387-90693-5}}
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Ideale]]
[[Categorie:Teoria modulelor]]