Vizualizare sursă pentru „Antiprismă”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Antiprisme ''n''-gonale uniforme
| image_up = Hexagonal antiprism.png
| caption = Antiprismă hexagonală
| type = [[poliedru uniform]] în sensul de [[poliedru semiregulat]]
| euler = 2
| faces = 2 [[poligon|''n''-goane]], 2''n'' [[triunghi]]uri
| edges = 4''n''
| vertices = 2''n''
| vertex_config = 3,3,3,''n''
| schläfli = {&nbsp;}⊗{''n''}<ref>{{en icon}} [[Norman Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c</ref><br/>s{2,2''n''}<br/>sr{2,''n''}
| wythoff = 
| coxeter = {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|n|node}}<br/>{{CDD|node_h|2x|node_h|n|node_h}}
| conway = A''n''
| symmetry = D<sub>''n''d</sub>, [2<sup>+</sup>,2''n''], (2*''n''), [[ordin de simetrie|ordin]] 4''n''
| rotsymmetry = D<sub>''n''</sub>, [2,''n'']<sup>+</sup>, (22''n''), ordin 2''n''
| surface_area = 
| volume = 
| angle = 
| dual = [[trapezoedru]] ''n''-gonal dual uniform
| properties = [[Politop convex|Convexe]], cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]]
| vertex_figure = 
| net = Generalized antiprisim net.svg<!-- |150px -->
}}
În [[geometrie]], o '''antiprismă ''n''-gonală''' este un [[poliedru]] compus din două copii paralele ale unui [[poligon]] cu ''n'' laturi, conectate printr-o bandă de [[triunghi]]uri alternante. Antiprismele sunt o subclasă de [[prismatoid]]e și sunt un tip ([[degenerare (matematică)|degenerat]]) de [[poliedru snub |poliedre snub]].

Antiprismele sunt similare cu [[prismă (geometrie) |prismele]], cu excepția faptului că bazele sunt rotite una față de alta și că fețele laterale sunt triunghiuri în loc de [[patrulater]]e.

În cazul unei baze regulate cu „n” laturi, de obicei se ia în considerare cazul în care copia sa este rotită cu un unghi de <math>180^\circ /n \,</math>. O regularitate suplimentară se obține atunci când linia care leagă centrele bazelor este perpendiculară pe planele bazelor, făcând-o o '''antiprismă dreaptă'''. Ca fețe are cele două baze ''n''-gonale și, conectate la aceste baze, 2''n'' triunghiuri isoscele.

== Antiprisme uniforme ==
O '''antiprismă uniformă''' are, în afară de fețele de [[bază (geometrie)|bază]], 2''n'' triunghiuri echilaterale ca fețe. Antiprismele uniforme formează o clasă infinită de poliedre [[figură izogonală |tranzitive pe vârfuri]], la fel cu prismele uniforme. Pentru {{nowrap|''n'' {{=}} 2}} se obține [[tetraedru]]l regulat ca ''antiprismă digonală'' (antiprismă degenerată), iar pentru {{nowrap|''n'' {{=}} 3}} [[octaedru]]l regula ca ''antiprismă triunghiulară'' (antiprismă nedegenerată).

[[Poliedru dual |Poliedrele duale]] ale antiprismelor sunt [[trapezoedru |trapezoedrele]]. Existența lor a fost discutată și numele lor a fost inventat de [[Johannes Kepler]], deși este posibil ca acestea să fi fost cunoscute anterior de [[Arhimede]], întrucât îndeplinesc aceleași condiții pe vârfuri ca și [[poliedru arhimedic |poliedrele arhimedice]].

{{AntiprismeUniforme}}

=== Diagrame Schlegel ===
{| class=wikitable style="text-align:center"
|+ [[Diagramă Schlegel |Diagrame Schlegel]] ale antiprismelor
|-
|A3
|[[Fișier:Square antiprismatic graph.png|100px]]<br/>A4
|[[Fișier:Pentagonal antiprismatic graph.png|100px]]<br/>A5
|[[Fișier:Hexagonal antiprismatic graph.png|100px]]<br/>A6
|[[Fișier:Heptagonal antiprism graph.png|100px]]<br/>A7
|[[Fișier:Octagonal antiprismatic graph.png|100px]]<br/>A8
|}

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unei antiprisme drepte cu baze ''n''-gonale (regulate) și triunghiuri isoscele sunt
:<math>\left( \cos\frac{k\pi}{n}, \sin\frac{k\pi}{n}, (-1)^k h \right)</math>
unde ''k'' poate lua valori între 0 și 2''n''&nbsp;−&nbsp;1; dacă triunghiurile sunt echilaterale,
:<math>2h^2=\cos\frac{\pi}{n}-\cos\frac{2\pi}{n}</math>.

== Volumul și aria anvelopei ==
Fie ''a'' lungimea laturii unei [[poliedru uniform |antiprisme uniforme]]. Atunci, volumul este
:<math>V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}}  a^3</math>
iar aria anvelopei este
:<math>A = \frac{n}{2} \left( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}\right) a^2</math>.

== Poliedre înrudite ==
Există un set infinit de antiprisme [[Trunchiere (geometrie) |trunchiate]], inclusiv o formă de simetrie inferioară a [[octaedru trunchiat |octaedrului trunchiat]] (antiprismă triunghiulară trunchiată). Acestea pot fi [[Alternare (geometrie) |alternate]] pentru a crea [[antiprismă snub |antiprisme snub]], dintre care două sunt [[poliedru Johnson |poliedre Johnson]], iar ''antiprisma triunghiulară snub'' este o formă de simetrie inferioară a [[icosaedru]]lui.

{| class=wikitable style="text-align:center"
|-
!colspan=5|Antiprisme
|-
|[[Fișier:Digonal_antiprism.png|70px]]
|[[Fișier:Trigonal antiprism.png|80px]]
|[[Fișier:Square antiprism.png|80px]]
|[[Fișier:Pentagonal antiprism.png|80px]]
|...
|-
|[[bisfenoid|s{2,4}]]
|[[octaedru|s{2,6}]]
|[[antiprismă pătrată|s{2,8}]]
|[[antiprismă pentagonală|s{2,10}]]
|s{2,2''n''}
|-
!colspan=5|Antiprisme trunchiate
|-
![[Fișier:Truncated digonal antiprism.png|80px]]
|[[Fișier:Truncated octahedron prismatic symmetry.png|80px]]
|[[Fișier:Truncated square antiprism.png|80px]]
|[[Fișier:Truncated pentagonal antiprism.png|80px]]
|...
|-
|valign=bottom|ts{2,4}
|[[octaedru trunchiat|ts{2,6}]]
|ts{2,8}
|ts{2,10}
|ts{2,2n}
|-
!colspan=5|Antiprisme snub
|-
!J<sub>84</sub>
!Icosaedru
!J<sub>85</sub>
!colspan=2|Fețe neregulate...
|-
|[[Fișier:Snub digonal antiprism.png|50px]]
|[[Fișier:snub triangular antiprism.png|80px]]
|[[Fișier:Snub square antiprism colored.png|80px]]
|[[Fișier:Snub pentagonal antiprism.png|80px]]
|...
|-
|[[Disfenoid snub|ss{2,4}]]
|[[Icosaedru regulat|ss{2,6}]]
|[[Antiprismă pătrată snub|ss{2,8}]]
|ss{2,10}
|[[Antiprismă snub|ss{2,2n}]]
|}

== Simetrie ==
[[Grup de simetrie |Grupul de simetrie]] al unei antiprisme drepte cu bază regulată și fețele laterale triunghiuri isoscele este D<sub>''n''d</sub> de [[ordin de simetrie|ordinul]] 4''n'', cu excepția cazului tetraedrului, care are grupul de simetrie mai mare T<sub>d</sub> de ordinul 24, care are trei versiuni ale D<sub>2d</sub> ca subgrupuri, și cazul octaedrului, care are grupul de simetrie mai mare O<sub>h</sub> de ordinul 48, care are patru versiuni ale D<sub>3d</sub> ca subgrupuri.

Grupul de simetrie admite [[simetrie față de centru |simetria față de centru]] (inversiunea față de punctul din centru) [[dacă și numai dacă]] ''n'' este impar.

[[Grup de rotații SO (3)|Grupul de rotații]] este D<sub>''n''</sub> de ordinul 2''n'', cu excepția cazului tetraedrului, care are un grup de rotații mai mare T de ordinul 12, care are trei versiuni ale D <sub>2</sub> ca subgrupuri, și cazul octaedrului, care are grupul de rotații mai mare O de ordinul 24, care are patru versiuni ale D<sub>3</ sub> ca subgrupuri.

== Antiprisme stelate ==
<!-- {{Articol principal|Poliedru uniform prismatic}} -->
{| class=wikitable align=right width=280 style="text-align:center"
|-
|colspan=3|[[Fișier:Pentagrammic antiprism.png|140px]]<br/>5/2-antiprismă
|colspan=3|[[Fișier:Pentagrammic crossed antiprism.png|140px]]<br/>5/3-antiprismă
|-
|colspan=2|[[Fișier:Antiprism 9-2.png|90px]]<br/>9/2-antiprismă
|colspan=2|[[Fișier:Antiprism 9-4.png|90px]]<br/>9/4-antiprismă
|colspan=2|[[Fișier:Antiprism 9-5.png|90px]]<br/>9/5-antiprismă
|}
[[Fișier:Antiprisms.pdf|300px|thumb|Toate antiprismele stelate și nestelate cu până la 15 laturi, împreună cu cele ale unui icosikaieneagon]]
Antiprismele stelate uniforme sunt denumite după [[poligon stelat |poligoanele stelate]], {''p''/''q''}, de la bazle lor și există în versiuni directe sau retrograde. Formele retrograde, numite și '''retroprisme''', au figurile vârfurilor intersectate și sunt notate cu fracții inversate, ''p''/(''p''&nbsp;-&nbsp;''q'') în loc de ''p''/''q'', de exemplu 5/3 în loc de 5/2.

În formele retrograde, dar nu și în formele directe, triunghiurile care unesc bazele stelate intersectează axa simetriei de rotație.

Unele antiprisme stelate retrograde cu baze poligonale convexe regulate nu pot fi construite cu muchii de lungimi egale, deci nu sunt poliedre uniforme.

Compușii de antiprisme stelate pot fi de asemenea construiți acolo unde ''p'' și ''q'' au factori comuni. De exemplu: o antiprismă stelată 10/4 este compusul a două antiprisme stelate 5/2.

{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=6|Antiprisme stelate cu bazele având până la 12 laturi, după simetrii
|-
![[Grup de simetrie]] sferică
!colspan=4|Stelate uniforme
!Alte stelate
|-
!align=center| D<sub>4d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,8]<br/>(2*5)
|colspan=4|&nbsp;
| [[Fișier:Crossed square antiprism.png|64px]]<br/>[[retroprismă pătrată |3.3/2.3.4]]
|-
!align=center| D<sub>5h</sub><br/>[2,5]<br/>(*225)
| [[Fișier:Pentagrammic antiprism.png|64px]]<br/>[[antiprismă pentagramică |3.3.3.5/2]]
|colspan=3|&nbsp;
| [[Fișier:Crossed pentagonal antiprism.png|64px]]<br/>[[retroprismă pentagonală |3.3/2.3.5]]
|-
!align=center| D<sub>5d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,10]<br/>(2*5)
| [[Fișier:Pentagrammic crossed antiprism.png|64px]]<br/>[[retroprismă pentagramică |3.3.3.5/3]]
|-
!align=center| D<sub>6d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,12]<br/>(2*6)
|colspan=4|&nbsp;
| [[Fișier:Crossed hexagonal antiprism.png|64px]]<br/>[[retroprismă hexagonală |3.3/2.3.6]]
|-
!align=center| D<sub>7h</sub><br/>[2,7]<br/>(*227)
| [[Fișier:Antiprism 7-2.png|64px]]<br/>[[antiprismă heptagramică (7/2)|3.3.3.7/2]]
| [[Fișier:Antiprism 7-4.png|64px]]<br/>[[retroprismă heptagramică |3.3.3.7/4]]
|-
!align=center| D<sub>7d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,14]<br/>(2*7)
| [[Fișier:Antiprism 7-3.png|64px]]<br/>[[antiprismă heptagramică (7/3)|3.3.3.7/3]]
|-
!align=center| D<sub>8d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,16]<br/>(2*8)
| [[Fișier:Antiprism 8-3.png|64px]]<br/>[[antiprismă octagramică |3.3.3.8/3]]
| [[Fișier:Antiprism 8-5.png|64px]]<br/>[[retroprismă octagramică |3.3.3.8/5]]
|-
!align=center| D<sub>9h</sub><br/>[2,9]<br/>(*229)
| [[Fișier:Antiprism 9-2.png|64px]]<br/>[[antiprismă eneagramică (9/2)|3.3.3.9/2]]
| [[Fișier:Antiprism 9-4.png|64px]]<br/>[[antiprismă eneagramică (9/4)|3.3.3.9/4]]
|-
!align=center| D<sub>9d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,18]<br/>(2*9)
| [[Fișier:Antiprism 9-5.png|64px]]<br/>[[retroprismă eneagramică |3.3.3.9/5]]
|-
!align=center| D<sub>10d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,12]<br/>(2*10)
| [[Fișier:Antiprism 10-3.png|64px]]<br/>[[antiprismă decagramică |3.3.3.10/3]]
|-
!align=center| D<sub>11h</sub><br/>[2,11]<br/>(*2.2.11)
| [[Fișier:Antiprism 11-2.png|64px]]<br/>3.3.3.11/2
| [[Fișier:Antiprism 11-4.png|64px]]<br/>3.3.3.11/4
| [[Fișier:Antiprism 11-6.png|64px]]<br/>3.3.3.11/6
|-
!align=center| D<sub>11d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,22]<br/>(2*11)
| [[Fișier:Antiprism 11-3.png|64px]]<br/>3.3.3.11/3
| [[Fișier:Antiprism 11-5.png|64px]]<br/>3.3.3.11/5
| [[Fișier:Antiprism 11-7.png|64px]]<br/>3.3.3.11/7
|-
!align=center| D<sub>12d</sub><br/>[2<sup>+</sup>,24]<br/>(2*12)
| [[Fișier:Antiprism 12-5.png|64px]]<br/>[[antiprismă dodecagramică |3.3.3.12/5]]
| [[Fișier:Antiprism 12-7.png|64px]]<br/>[[retroprismă dodecagramică |3.3.3.12/7]]
|-
| ...
|}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7  }} Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

== Vezi și ==
* [[Compus prismatic de antiprisme]]
* [[Compus prismatic de antiprisme cu libertate de rotație]]

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Antiprisms}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=Antiprism|title=Antiprism}}
* {{en icon}} [http://home.comcast.net/~tpgettys/nonconvexprisms.html Nonconvex Prisms and Antiprisms]
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20141019220935/http://www.software3d.com/Prisms.php Paper models of prisms and antiprisms]

{{Portal|matematică}}
{{Poliedre}}
{{Poliedre convexe}}
{{Teselări}}

[[Categorie:Antiprisme]]