Vizualizare sursă pentru „Analiză funcțională”


[[Fișier:Drum_vibration_mode12.gif|dreapta|miniatura|200x200px| Unul dintre modurile posibile de vibrație a unui [[cap de tobă]] circular ideal. Aceste moduri sunt [[Funcție proprie|funcții proprii]] ale unui operator liniar pe un spațiu funcțional, o construcție uzuală în analiza funcțională.]]
'''Analiza funcțională''' este o ramură a [[Analiza matematică|analizei matematice]] al cărei nucleu este format din studiul [[Spațiu vectorial|spațiilor vectoriale]] înzestrate cu un tip de structură legată de limită (de exemplu [[Spațiu prehilbertian|produs scalar]], [[Normă (matematică)|normă]] sau [[Spațiu topologic|topologie]]) și [[Transformare liniară|funcțiile liniare]] definite pe aceste spații ce respectă aceste structuri. Rădăcinile istorice ale analizei funcționale se află în studiul [[Spațiu funcțional|spațiilor de funcții]] și formularea proprietăților transformărilor de funcții precum [[transformata Fourier]] ca transformări care definesc, de exemplu, operatori [[Funcție continuă|continui]] sau [[operator unitar|unitari]] între spații de funcții. Acest punct de vedere s-a dovedit a fi deosebit de util pentru studiul ecuațiilor [[Ecuație diferențială|diferențiale]] și [[Ecuație integrală|integrale]].

Utilizarea cuvântului ''[[funcțională]]'' ca substantiv provine din [[Calcul variațional|calculul variațional]], însemnând o [[funcție de ordin superior|funcție al cărei argument este o funcție]]. Termenul a fost folosit pentru prima dată în cartea lui [[Jacques Hadamard|Hadamard]] din 1910 despre acest subiect. Cu toate acestea, conceptul general de funcțională a fost introdus anterior în 1887 de către matematicianul și fizicianul italian [[Vito Volterra]].<ref>{{Citat web|url=http://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/Volterra.pdf|nume=Lawvere|titlu=Volterra's functionals and covariant cohesion of space|publisher=Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia|accessdate=2018-06-12|archiveurl=https://web.archive.org/web/20030407030553/http://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/Volterra.pdf|first1=F. William|lucrare=acsu.buffalo.edu|archivedate=2003-04-07}}</ref><ref>{{Citat carte|url=http://dx.doi.org/10.1142/5685|titlu=History of Mathematical Sciences|dată=October 2004|pagină=195|editură=WORLD SCIENTIFIC|doi=10.1142/5685|isbn=978-93-86279-16-3|nume=Saraiva|prenume=Luís}}</ref> Teoria funcționalelor neliniare a fost continuată de studenții lui Hadamard, în particular [[Maurice René Fréchet|Fréchet]] și [[Paul Lévy|Lévy]]. Hadamard a fondat și școala modernă de analiză funcțională liniară dezvoltată în continuare de [[Frigyes Riesz|Riesz]] și de [[Școala de Matematică din Lwów|grupul]] de matematicieni [[Polonia|polonezi]] din cercul lui [[Stefan Banach]].

În textele introductive moderne de analiză funcțională, subiectul este văzut drept studiul spațiilor vectoriale înzestrate cu o topologie, în particular [[Dimensiune (spațiu vectorial)|spații infinit dimensionale]].<ref>{{Citat carte|nume=Bowers|prenume=Adam|titlu=An introductory course in functional analysis|nume2=Kalton|prenume2=Nigel J.|editură=[[Springer Science & Business Media]]|an=2014|pagini=1}}</ref><ref>{{Citat carte|nume=Kadets|prenume=Vladimir|titlu=A Course in Functional Analysis and Measure Theory|editură=[[Springer Publishing|Springer]]|an=2018|pagini=xvi|titlu_trad=КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА}}</ref> În contrast, [[Algebră liniară|algebra liniară]] se ocupă în principal cu spații finit dimensionale și nu utilizează topologia. O parte importantă a analizei funcționale este extinderea teoriilor legate de [[Măsură (matematică)|măsură]], [[Integrală|integrare]] și [[probabilitate]] la spații infinit dimensionale, cunoscută și sub denumirea de '''analiză infinit dimensională'''.

== Spații vectoriale normate ==
Clasa fundamentală și primordială de spații studiată în analiza funcțională constă în [[Spațiu vectorial normat|spații vectoriale normate]] [[Spațiu complet|complete]] peste corpul numerelor [[Număr real|reale]] sau [[Număr complex|complexe]]. Aceste spații se numesc [[Spațiu Banach|spații Banach]]. Un exemplu important este un [[spațiu Hilbert]], unde norma ia naștere dintr-un produs scalar. Aceste spații sunt de o importanță fundamentală în multe domenii, incluzând [[Formulări matematice ale mecanicii cuantice|formularea matematică a mecanicii cuantice]], [[Spațiu Hilbert cu nucleu reproducător|învățarea automată]], [[Ecuație cu derivate parțiale|ecuațiile cu derivate parțiale]] și [[analiză Fourier|analiza Fourier]].

Mai general, analiza funcțională include studiul [[spațiu Fréchet|spațiilor Fréchet]] și al altor [[spațiu vectorial topologic|spații vectoriale topologice]] neînzestrate cu o normă.

Un obiect important de studiu în analiza funcțională îl reprezintă [[Transformare liniară|operatorii liniari]] [[Funcție continuă|continui]] definiți pe spațiile Banach și Hilbert. Aceștia conduc în mod natural la definirea [[C*-algebră|C*-algebrelor]] și a altor [[Algebra operatorului|algebre de operatori]].

=== Spații Hilbert ===
[[Spațiu Hilbert|Spațiile Hilbert]] pot fi complet clasificate: există un unic spațiu Hilbert [[până la]] [[izomorfism]] pentru fiecare [[Număr cardinal|cardinal]] al [[Bază ortonormată|bazei ortonormate]].<ref>{{Citat carte|nume=Riesz|prenume=Frigyes|url=https://www.worldcat.org/oclc/21228994|titlu=Functional analysis|dată=1990|editură=Dover Publications|alții=Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron|isbn=0-486-66289-6|ediție=Dover|locul-publicării=New York|oclc=21228994|pagini=195–199}}</ref> Spațiile Hilbert finit dimensionale sunt pe deplin înțelese în [[Algebră liniară|algebra liniară]], iar spațiile Hilbert [[spațiu separabil|separabile]] infinit dimensionale sunt izomorfe cu [[Spațiu de șiruri#Spații ℓp|<math>\ell^{\,2}(\aleph_0)\,</math>]]. Separabilitatea fiind importantă pentru aplicații, analiza funcțională a spațiilor Hilbert se ocupă în mare parte de acest spațiu. Una dintre problemele deschise în analiza funcțională este aceea de a demonstra că orice operator liniar mărginit pe un spațiu Hilbert are un [[subspațiu invariant]] propriu. Multe cazuri speciale ale acestei probleme de subspațiu invariante au fost deja demonstrate.

=== Spații Banach ===
Exemple de spații Banach sunt spațiile [[Spațiu Lp|<math>L^p</math>]] pentru orice număr real {{Nowrap|<math>p\geq1</math>.}} Fiind dată și o măsură <math>\mu</math> pe mulțimea {{Nowrap|<math>X</math>,}} atunci {{Nowrap|<math>L^p(X)</math>,}} uneori notat de asemenea <math>L^p(X,\mu)</math> sau {{Nowrap|<math>L^p(\mu)</math>,}} are ca vectori clase de echivalență <math>[\,f\,]</math> de [[Funcția măsurabilă Lebesgue|funcții măsurabile]] a căror putere a <math>p</math>-a a [[Modul|valorii absolute]] are integrală finită; adică funcții <math>f</math> pentru care are loc <math display="block">\int_{X}\left|f(x)\right|^p\,d\mu(x) < \infty.</math>Dacă <math>\mu</math> este [[măsura de numărare]], atunci integrala poate fi înlocuită cu o sumă. Adică se impune <math display="block">\sum_{x\in X}\left|f(x)\right|^p < \infty .</math>Atunci nu este necesar să se lucreze cu clase de echivalență, iar spațiul este notat cu {{Nowrap|<math>\ell^p(X)</math>,}} scris mai simplu <math>\ell^p</math> în cazul în care <math>X</math> este mulțimea [[Număr întreg|numerelor întregi]] nenegative.

În spațiile Banach, o mare parte a studiului implică [[spațiu dual|spațiul dual]]: spațiul tuturor aplicațiilor liniare [[Funcție continuă|continue]] din spațiu în corpul său subiacent, așa-numitele funcționale. Un spațiu Banach poate fi identificat în mod canonic cu un subspațiu al bidualului său, care este dualul spațiului său dual. Aplicația corespunzătoare este o [[izometrie]], dar în general nu surjectivă. Un spațiu Banach general și bidualul său nu sunt neapărat izometric izomorfe în vreun fel, spre deosebire de cazul finit dimensional. Acest lucru este explicat în articolul despre spațiul dual.

De asemenea, noțiunea de [[derivată]] poate fi extinsă la funcții arbitrare între spațiile Banach. A se vedea, de exemplu, articolul Derivată Fréchet.

== Rezultate majore și fundamentale ==
Există patru teoreme majore care sunt uneori numite cei patru piloni ai analizei funcționale:

* [[teorema Hahn-Banach]]
* [[Teorema aplicației deschise (analiză funcțională)|teorema aplicației deschise]]
* [[Teorema graficului închis (analiză funcțională)|teorema graficului închis]]
* [[principiul mărginirii uniforme]], cunoscut și sub numele de teorema Banach-Steinhaus.

Rezultatele importante ale analizei funcționale includ:

=== Principiul mărginirii uniforme ===
[[Principiul mărginirii uniforme|Principiul mărginirii uniforme,]] sau teorema Banach-Steinhaus, este unul dintre rezultatele fundamentale ale analizei funcționale. Împreună cu [[teorema Hahn-Banach]] și [[Teorema aplicației deschise (analiză funcțională)|teorema aplicației deschise]], este considerată una dintre pietrele de temelie ale domeniului. În forma sa de bază, acesta afirmă că pentru o familie de [[aplicație liniară continuă|operatori liniari continui]] (și deci operatori mărginiți) al căror domeniu este un [[spațiu Banach]], mărginirea punctuală este echivalentă cu mărginirea uniformă în norma operatorului.

Teorema a fost publicată pentru prima dată în 1927 de [[Stefan Banach]] și [[Hugo Steinhaus]], dar a fost demonstrată independent și de [[Hans Hahn (matematician)|Hans Hahn]].
{{Math theorem
| math_statement = Fie <math>X</math> un [[spațiu Banach]] și <math>Y</math> un [[spațiu vectorial normat]]. Presupunem că <math>F</math> este o colecție de operatori liniari continui de la <math>X</math> la <math>Y</math>. Dacă pentru orice <math>x</math> din <math>X</math> are loc 
<math display="block">\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y  < \infty, </math>
atunci
<math display="block">\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)}  < \infty. </math>
| name = Teoremă (Principiul mărginirii uniforme)
}}

=== Teorema spectrală ===
Există multe teoreme cunoscute sub numele de [[teorema spectrală]], dar una în particular are multe aplicații în analiza funcțională.

{{Math theorem
| math_statement = Fie <math>A</math>  un operator mărginit autoadjunct pe un spațiu Hilbert <math>H</math>. Atunci există un [[spațiu cu măsură]] <math>(X,\Sigma,\mu)</math> și o funcție <math>f</math> măsurabilă cu valori reale [[ess sup|esențial mărginită]] pe <math>X</math> și un operator unitar <math>U:H\to L^2_\mu(X)</math> astfel încât
<math display="block"> U^* T U = A, </math>
unde ''T'' este [[operatorul de înmulțire]]:
<math display="block"> [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). </math>
și <math>\|T\| = \|f\|_\infty.</math>
| name = Teorema spectrală<ref>{{Cite book|last=Hall|first=Brian C.|url={{google books |plainurl=y |id=bYJDAAAAQBAJ|page=147}}|title=Quantum Theory for Mathematicians|date=2013-06-19|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=978-1-4614-7116-5|page=147|language=en}}</ref>
}}

Acesta este începutul vastei arii de cercetare a analizei funcționale numită [[teoria operatorilor]]; a se vedea și [[Măsură spectrală|măsura spectrală]].

Există, de asemenea, o teoremă spectrală analoagă pentru [[Operator normal|operatorii normali]] mărginiți pe spații Hilbert. Singura diferență la concluzie este că acum <math>f</math> poate lua valori complexe.

=== Teorema Hahn-Banach ===
[[Teorema Hahn-Banach]] este un instrument central în analiza funcțională. Aceasta permite extinderea [[operator mărginit|funcționalelor liniare mărginite]] definite pe un subspațiu al unui [[spațiu vectorial]] la întreg spațiul și, totodată, arată că există „suficiente” funcționale liniare [[Funcție continuă|continue]] definite pe fiecare [[spațiu vectorial normat]] încât să facă studiul [[spațiu dual|spațiului dual]] „interesant”.
{{Math theorem
| math_statement = Dacă <math>p:V\to\mathbb{R}</math> este o [[funcție subliniară]], iar <math>\varphi:U\to\mathbb{R}</math> este o [[funcțională liniară]] pe un [[subspațiu liniar]] <math>U\subseteq V</math> care este dominată de <math>p</math> pe <math>U</math>; adică,
<math display="block">\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U</math>
atunci există o extindere liniară <math>\psi:V\to\mathbb{R}</math> a lui <math>\varphi</math> la întreg spațiul <math>V</math> care este dominată de <math>p</math> pe <math>V</math>; adică, există o funcțională liniară <math>\psi</math> astfel încât
<math display="block">\begin{align}
\psi(x) &= \varphi(x) &\forall x\in U, \\
\psi(x) &\le p(x) &\forall x\in V.
\end{align}</math>
| name = Hahn–Banach theorem:<ref name="rudin">{{Cite book | last=Rudin | first=Walter | url={{google books |plainurl=y |id=Sh_vAAAAMAAJ}} | title=Functional Analysis | date=1991 | publisher=McGraw-Hill | isbn=978-0-07-054236-5 | language=en}}</ref>
}}[[Teorema aplicației deschise (analiză funcțională)|Teorema aplicației deschise]], cunoscută și sub denumirea de teorema Banach-Schauder (numită după [[Stefan Banach]] și [[Juliusz Schauder]]), este un rezultat fundamental care afirmă că dacă un [[operator mărginit|operator liniar continuu]] între [[Spațiu Banach|spații Banach]] este [[Funcție surjectivă|surjectiv]], atunci este o [[aplicații deschise și închise|aplicație deschisă]]. Mai exact, 

{{Math theorem
| math_statement = Dacă <math>X</math> și <math>Y</math> sunt spații Banach și <math>A:X\to Y</math> este un operator liniar continuu surjectiv, atunci <math>A</math> este o aplicație liniară (adică, dacă <math>U</math> este o [[mulțime deschisă]] în <math>X</math>, atunci <math>A(U)</math> este deschisă în <math>Y</math>).
| name = Teorema aplicației deschise
}}

Demonstrația folosește [[Teorema categoriei Baire|teorema lui Baire]], iar completitudinea ambelor spații <math>X</math> și <math>Y</math> este esențială pentru teoremă. Afirmația teoremei nu mai este adevărată dacă unul dintre spații este presupus a fi doar un [[Spațiu vectorial normat|spațiu normat]], dar este adevărată dacă <math>X</math> și <math>Y</math> sunt considerate [[spațiu Fréchet|spații Fréchet]].

=== Teorema graficului închis ===
{{math theorem
| name = Teorema graficului închis
| math_statement = Dacă <math>X</math> este un [[spațiu topologic]] și <math>Y</math> este un [[spațiu Hausdorff|spațiu compact Hausdorff]], atunci graficul unei aplicații liniare <math>T</math> din <math>X</math> la <math>Y</math> este închis dacă și numai dacă <math>T</math> este [[Funcție continuă|continuu]].<ref>{{Citat carte|nume=Munkres|prenume=James R.|url={{google books |plainurl=y |id=XjoZAQAAIAAJ}}|titlu=Topology|dată=2000|editură=Prentice Hall, Incorporated|isbn=978-0-13-181629-9|limbă=en|pagină=171}}</ref>
}}

=== Alte subiecte ===
{{Articol principal|Listă de subiecte de analiză funcțională
}}

== Fundamentele considerentelor matematice ==
Majoritatea spațiilor considerate în analiza funcțională au dimensiune infinită. Pentru a arăta existența unei [[Bază (algebră liniară)|baze de spațiu vectorial]] pentru astfel de spații poate fi necesară [[lema lui Zorn]]. Cu toate acestea, un concept oarecum diferit, [[Bază Schauder|baza Schauder]], este de obicei mai relevant în analiza funcțională. Multe teoreme necesită [[teorema Hahn-Banach]], de obicei demonstrată folosind [[axioma alegerii]], deși este suficientă [[teorema idealului prim într-o algebră Boole]], care este mai slabă. [[Teorema lui Baire]], necesară pentru a demonstra multe teoreme importante, necesită, de asemenea, o formă a axiomei alegerii.

== Puncte de vedere ==
Analiza funcțională include următoarele tendințe:

* ''Analiza abstractă''. O abordare a analizei bazată pe [[Grup topologic|grupuri topologice]], [[Inel topologic|inele topologice]] și [[Spațiu vectorial topologic|spații vectoriale topologice]].
* ''Geometria [[Spațiu Banach|spațiilor Banach]]'' conține multe subiecte. Unul este abordarea [[Combinatorică|combinatorială]] legată de [[Jean Bourgain]] ; altul este o caracterizare a spațiilor Banach în care sunt valabile diverse forme ale [[Legea numerelor mari|legii numerelor mari]].
* ''Geometria necomutativă''. Dezvoltată de [[Alain Connes]], bazându-se parțial pe noțiuni anterioare, cum ar fi abordarea lui George Mackey asupra teoriei ergodice.
* ''Legătura cu [[Mecanică cuantică|mecanica cuantică]]''. Fie definită în mod restrâns ca în [[Fizică matematică|fizica matematică]], fie interpretată pe scară largă, spre exemplu, de [[Israel Gelfand]], pentru a include majoritatea tipurilor de [[teoria reprezentării]].

== Vezi si ==

* [[Lista subiectelor de analiză funcțională|Listă de subiecte de analiză funcțională]]
* [[teoria spectrală|Teorie spectrală]]

== Note ==
{{Listănote}}

== Lectură suplimentară ==

* Aliprantis, C.D., Border, K.C.: ''Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide'', ed. 3, Springer 2007, {{ISBN|978-3-540-32696-0}}. Online {{Doi|10.1007/3-540-29587-9}} (prin abonament)
* Bachman, G., Narici, L.: ''Functional analysis'', Academic Press, 1966. (retipărit Dover Publications)
* [[Stefan Banach|Banach S.]] [http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html ''Theory of Linear Operations''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211028084954/http://www.ebook3000.com/Theory-of-Linear-Operations--Volume-38--North-Holland-Mathematical-Library--by-S--Banach_134628.html|date=2021-10-28}}. Volumul 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, {{ISBN|0-444-70184-2}}
* [[Haim Brézis|Brezis, H.]]: ''Analyse Fonctionnelle'', Dunod {{ISBN|978-2-10-004314-9}} sau {{ISBN|978-2-10-049336-4}}
* Conway, J. B.: ''A Course in Functional Analysis'', 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, {{ISBN|0-387-97245-5}}
* Dunford, N. și [[Jacob Schwartz|Schwartz, J.T.]]: ''Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons'', și alte 3 volume, include diagrame ilustrative
* Edwards, R. E.: ''Functional Analysis, Theory and Applications'', Hold, Rinehart și Winston, 1965.
* Eidelman, Yuli, Vitali Milman și Antonis Tsolomitis: ''Functional Analysis: An Introduction'', American Mathematical Society, 2004.
* Friedman, A.: ''Foundations of Modern Analysis'', Dover Publications, Paperback Edition, Iulie 21, 2010
* Giles, J.R.: ''Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces'', Cambridge University Press, 2000
* Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
* Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: ''Applications of Functional Analysis and Operator Theory'', ed. 2, Elsevier Science, 2005, {{ISBN|0-444-51790-1}}
* Kantorovitz, S.,''Introduction to Modern Analysis'', Oxford University Press, 2003, ed. 2, 2006.
* [[Andrei Nikolaevici Kolmogorov|Kolmogorov, A.N]] și Fomin, S.V.: ''Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis'', Dover Publications, 1999
* Kreyszig, E.: ''Introductory Functional Analysis with Applications'', Wiley, 1989.
* [[Peter Lax|Lax, P.]]: ''Functional Analysis'', Wiley-Interscience, 2002, {{ISBN|0-471-55604-1}}
* Lebedev, L.P. și Vorovich, I.I.: ''Functional Analysis in Mechanics'', Springer-Verlag, 2002
* Michel, Anthony N. și Charles J. Herget: ''Applied Algebra and Functional Analysis'', Dover, 1993.
* Pietsch, Albrecht: ''History of Banach spaces and linear operators'', Birkhäuser Boston Inc., 2007, {{ISBN|978-0-8176-4367-6}}
* Reed, M., [[Barry Simon|Simon, B.]]: "Functional Analysis", Academic Press 1980.
* Riesz, F. și Sz.-Nagy, B.: ''Functional Analysis'', Dover Publications, 1990
* Rudin, W.: ''Functional Analysis'',  McGraw-Hill Science, 1991
* Saxe, Karen: ''Beginning Functional Analysis'', Springer, 2001
* Schechter, M.: ''Principles of Functional Analysis'', AMS, ed. 2, 2001
* Shilov, Georgi E.: ''Elementary Functional Analysis'', Dover, 1996.
* [[Serghei Sobolev|Sobolev, S.L.]]: ''Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics'', AMS, 1963
* Vogt, D., Meise, R.: ''Introduction to Functional Analysis'', Oxford University Press, 1997.
* Yosida, K.: ''Functional Analysis'', Springer-Verlag, ed. 6, 1980

== Legături externe ==

* {{Springer |title=Functional analysis |id=p/f042020}}
* [https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-fa/index.html Topics in Real and Functional Analysis] de [[Gerald Teschl]], University of Vienna.
* [https://web.archive.org/web/20161021093450/http://www.math.nyu.edu/phd_students/vilensky/Functional_Analysis.pdf Lecture Notes on Functional Analysis] de Yevgeny Vilensky, New York University.
* [https://www.youtube.com/playlist?list=PLE1C83D79C93E2266 Lecture videos on functional analysis] de [http://www.uccs.edu/~gmorrow/ Greg Morrow] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170401143239/http://www.uccs.edu/~gmorrow/|date=2017-04-01}} de la Universitatea din Colorado Colorado Springs
{{Matematică|collapsed}}
[[Categorie:Analiză funcțională]]
[[Categorie:Pagini cu traduceri nerevizuite]]