Vizualizare sursă pentru „5-celule”

{{Infocaseta 4-politop
| nume = 5-celule regulat<br/>(4-simplex, pentatop)
| image = Schlegel wireframe 5-cell.png
| img_dim =
| Antet = [[Diagramă Schlegel]]<br/>(vârfuri și laturi)
| Type = [[4-politop regulat]] [[convexitate|convex]]
| Schläfli = {3,3,3}
| CD = {{CDD|node_1|3|node|3|node|3|node}}
| Cell_List = 5 [[tetraedru|{3,3}]] [[Fișier:3-simplex t0.svg|20px]]
| Face_List = 10 {3} [[Fișier:2-simplex t0.svg|20px]]
| Edge_Count = 10
| Vertex_Count = 5
| Vertex_Figure = [[Fișier:5-cell verf.svg|80px]]<br/>([[tetraedru]])
| Petrie_Polygon = [[pentagon]]
| Coxeter_Group = A<sub>4</sub>, [3,3,3]
| Symmetry_Group =
| Dual = [[Poliedru_dual#Politopuri_și_teselări_autoduale |autodual]]
| Property_List = [[Politop convex |convex]], [[figură izogonală |izogonal]], [[figură izotoxală |izotoxal]], [[figură izoedrică|izoedric]]
| Index = 1
}}
[[Fișier:tetrahedron.jpg|thumb|Figura vârfului: ''tetraedru'']]
[[Fișier:5-cell net.png|thumb|[[Desfășurată]]]]
În [[geometrie]] '''5-celule'''{{Efn|„5-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 5 celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 5 celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 5-celule”, nu „o/acea 5-celule”, respectiv „unele/acele 5-celule”', nu „unii/acei 5-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.}} este un obiect din [[Spațiu cvadridimensional |spațiul cvadridimensional]] mărginit de 5 [[tetraedru |celule tetraedrice]]. Este, de asemenea, cunoscut sub numele de '''C<sub>5</sub>'''.<ref>{{en icon}} [[Norman Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite Symmetry Groups'', 11.5 ''Spherical Coxeter groups'', p.&nbsp;249</ref> Este '''4-[[simplex]]ul''', politopul <math>\alpha_4</math> al lui [[Coxeter]],{{Sfn|Coxeter|1973|p=120|loc=§7.2. see illustration Fig 7.2<small>A</small>}} cel mai simplu posibil [[4-politop regulat convex]], fiind analogul 4-dimensional al [[tetraedru]]lui din trei dimensiuni și al [[triunghi]]ului din două dimensiuni. Un 5-celule este o piramidă 4-dimensională cu o [[bază (geometrie)|bază]] tetraedrică.

Un '''5-celule regulat''' este mărginit de 5 [[tetraedru |tetraedre regulate]] și este unul dintre cele șase 4-politopuri regulate convexe, având [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] {3,3,3}.

5-celule este o soluție la problema: ''Faceți 10 triunghiuri echilaterale, toate de aceeași dimensiune, folosind 10 bețișoare identice, unde fiecare latură a fiecărui triunghi este exact un singur bețișor”.'' Nu există nicio soluție în trei dimensiuni.

[[Anvelopă convexă |Anvelopa convexă]] a unui 5-celule și a dualului său (presupunând că sunt congruente) este ''30-celule bisfenoidal'', dual al ''5-celule bitrunchiat''.

== Geometrie ==
5-celule este un [[politop autodual]], iar [[figura vârfului]] său este un tetraedru. Intersecția sa maximă cu [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] este [[prismă triunghiulară |prisma triunghiulară]]. [[Unghi diedru |Unghiul diedru]] al acestuia este cos<sup>−1</sup>({{sfrac|1|4}}), sau aproximativ 75,52°.

=== Configurație ===
Matricea sa de configurație este prezentată mai jos. Rândurile și coloanele corespund [[vârf (geometrie) |vârfurilor]], [[latură (geometrie) |laturilor]], [[față (geometrie) |fețelor]] și [[celulă (geometrie) |celulelor. Numerele diagonale spun câte din fiecare element apar în întregul 5-celule. Celelalte numere spun câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul rândului. Deoarece este un politop autodual, matricea sa este identică după rotirea sa cu 180 de grade.{{sfn|Coxeter|1973|p=12|loc=§1.8. Configurations}}<br/>

:<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}5 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 10 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 10 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 5 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>

=== Construcție ===
5-celule poate fi construit dintr-un tetraedru adăugând un al 5-lea vârf astfel încât să fie [[echidistant]] de toate celelalte vârfuri ale tetraedrului. (5-celule este o [[Piramidă (geometrie) |piramidă]] 4-dimensională cu o bază tetraedrică și patru fețe tetraedrice.)

Cel mai simplu set ce coordonate este: (2,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,2,0), (0,0,0,2), (&phi;,&phi;,&phi;,&phi;), cu lungimea laturii de 2{{sqrt|2}}, unde &phi; este [[secțiunea de aur]].{{sfn|Coxeter|1991|p=30|loc=§4.2. The Crystallographic regular polytopes}}

[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui 5-celule regulat centrate în origine având lungimea laturii&nbsp;2 și raza {{radic|1,6}} sunt:
:<math>\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\  \frac{1}{\sqrt{6}},\  \frac{1}{\sqrt{3}},\  \pm1\right)</math>
:<math>\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\  \frac{1}{\sqrt{6}},\  \frac{-2}{\sqrt{3}},\ 0   \right)</math>
:<math>\left( \frac{1}{\sqrt{10}},\  -\sqrt{\frac{3}{2}},\ 0,\                   0   \right)</math>
:<math>\left( -2\sqrt{\frac{2}{5}},\ 0,\                   0,\                   0   \right)</math>

Alt set de coordonate centrate în origine în 4-spațiu poate fi văzut ca o hiperpiramidă cu o bază tetraedrică regulată în [[3-spațiu]], cu lungimea laturii 2{{radic|2}} și raza {{radic|3,2}}:
:<math>\left( 1,1,1, \frac{-1}\sqrt{5}  \right)</math>
:<math>\left( 1,-1,-1,\frac{-1}\sqrt{5}  \right)</math>
:<math>\left( -1,1,-1,\frac{-1}\sqrt{5}  \right)</math>
:<math>\left( -1,-1,1,\frac{-1}\sqrt{5}  \right)</math>
:<math>\left( 0,0,0,\frac{4}\sqrt{5}  \right)</math>

Vârfurile unui 4-simplex (cu latura {{radic|2}} și raza 1) pot fi construite mai simplu pe un [[hiperplan]] în 5-spațiu, ca permutări (distincte) de (0,0,0,0,1) ''sau'' (0,1,1,1,1); în aceste poziții este o [[fațetă (geometrie) |fațetă]], a unui 5-[[ortoplex]] (sau a [[5-simplex]]ului [[rectificare (geometrie) |rectificat]]).

=== Elicea Boerdijk–Coxeter ===
[[Fișier:5-cell 5-ring net.png|300px|thumb|Desfășurata 2D și poligonul Petrie al 5-celule]]
Un 5-celule poate fi construit ca [[elice Boerdijk–Coxeter |elicea Boerdijk–Coxeter]] a cinci tetraedre înlănțuite, pliate într-un inel 4-dimensional. Cele 10 fețe triunghiulare pot fi văzute într-o [[desfășurată]] 2D într-o [[pavare triunghiulară]], cu 6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf, deși plierea în 4-spațiu face ca laturile să coincidă. Laturile violete sunt [[poligon Petrie |poligonul Petrie]] al 5-celulei.

=== Proiecții ===
Un 5-celule se proiectează în planul Coxeter A<sub>4</sub> ca un pentagon regulat și pentagramă.<br/>
{{4-simplex Coxeter plane graphs|t0|150}}
{|class="wikitable" width=640 style="text-align:center;"
!colspan=2|Proiecții în tridimensional
|-
|[[Fișier:Stereographic polytope 5cell.png|240px]]<br/>[[Proiecție stereografică]] tip cadru de sârmă (laturi proiectate pe o [[3-sferă]])
|[[Fișier:5-cell.gif]]<br/>Proiecție 3D a unui 5-celule executând o [[Rotație în spațiul euclidian cvadridimensional#Rotații simple|rotație simplă]]
|-
|[[Fișier:Pentatope-vertex-first-small.png]]<br/>Proiecția unui 5-celule cu un vârf în față are o anvelopă vizibilă tetraedrică. Vârful cel mai apropiat al 5-celule este cel din centrul tetraedrului, cu roșu. Cea mai îndepărtată celulă se proiectează pe anvelopa tetraedrică propriu-zisă, în timp ce celelalte 4 celule se proiectează pe cele 4 regiuni tetraedrice, aplatizate (degenerate în proiecția 3D), care înconjoară vârful central.
|[[Fișier:5cell-edge-first-small.png]]<br/> Proiecția unui 5-celule cu o latură în față este o [[bipiramidă triunghiulară]] a anvelopei. Cea mai apropiată latură (cu roșu) se proiectează pe axa bipiramidei, cele trei celule care o înconjoară unt proiectate în 3D ca 3 volume tetraedrice dispuse în jurul acestei axe la 120 de grade unul față de celălalt. Restul de 2 celule se proiectează pe cele două jumătăți ale [[bipiramidă |bipiramidei]] și se află pe fața îndepărtată a politopului.
|-
|[[Fișier:5cell-face-first-small.png]]<br/>Proiecția unui 5-celule cu o față în față are, de asemenea, o anvelopă vizibilă de bipiramidă triunghiulară. Cea mai apropiată față este colorată în roșu. Cele două celule care se întâlnesc pe această față se proiectează către cele două jumătăți ale bipiramidei. Celelalte trei celule se află pe partea îndepărtată a politopului 4D și pentru claritate sunt eliminate din imagine. Acestea sunt dispuse în jurul axei centrale a bipiramidei, la fel ca în proiecția cu i latură în față.
|[[Fișier:5cell-cell-first-small.png|320px]]<br/>Proiecția unui 5-celule cu o celulă în față are o anvelopă tetraedrică. Cea mai apropiată celulă se proiectează pe întreaga anvelopă și în 4D ascunde celelalte 4 celule; prin urmare, nu sunt redate aici.
|}

== 5-celule neregulat ==
Există multe forme de simetrie inferioară, inclusiv cele ale figurii vârfului politopului uniform:
{| class=wikitable width=640 style="text-align:center;"
!Simetrie
![3,3,3]<br/>[[ordin de simetrie|Ordinul]] 120
![3,3,1]<br/>Ordinul 24
![3,2,1]<br/>Ordinul 12
![3,1,1]<br/>Ordinul 6
![5,2]<sup>+</sup><br/>Ordinul 10
|-
!Nume
| 5-celule regulat
| Piramidă tetraedrică
| colspan=2|Piramidă triunghiular-piramidală
| Hiperbisfenoid pentagonal
|- 
![[Simbol Schläfli |Schläfli]]
| {3,3,3}
| {3,3} ∨ ( )
| colspan=2|{3} ∨ { }
| 
|- valign=top
!valign=center|Exemple,<br/>Figura<br/>vârfului
|[[Fișier:5-simplex verf.png|120px]]<br/>[[5-simplex]]
|[[Fișier:Truncated 5-simplex verf.png|120px]]<br/>[[5-simplex trunchiat]]
|[[Fișier:Bitruncated 5-simplex verf.png|120px]]<br/>[[5-simplex bitrunchiat]]
|[[Fișier:Canitruncated 5-simplex verf.png|120px]]<br/>[[5-simplex cantitrunchiat]]
|[[Fișier:Omnitruncated 4-simplex honeycomb verf.png|120px]]<br/>[[Fagure 4-simplex omnitrunchiat]]
|}

'''Piramida tetraedrică''' este un caz particular al unui ''5-celule'', o [[piramidă poliedrică]] având drept bază un tetraedru regulat într-un [[hiperplan]] din 3-spațiu și drept [[Apex (geometrie) |apex]] punctul de ''deasupra'' hiperplanului. Cele patru ''laturi'' ale piramidei sunt formate din celule tetraedrice.

Multe [[5-politop uniform |5-politopuri uniforme]] figuri ale vârfului ''piramida tetraedrică'':
{| class=wikitable
|+ Simetrie [3,3,1], ordinul 24
|-
![[Diagramă Schlegel |Diagramă<br/>Schlegel]]
|[[Fișier:5-cell prism verf.png|100px]]
|[[Fișier:Tesseractic prism verf.png|100px]]
|[[Fișier:120-cell prism verf.png|100px]]
|[[Fișier:Truncated 5-simplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Truncated 5-cube verf.png|100px]]
|[[Fișier:Truncated 24-cell honeycomb verf.png|100px]]
|-
!Nume<br/>[[Diagramă Coxeter |Coxeter]]
![[Prismă 5-celule|{ }×{3,3,3}]]<br/>{{CDD|node_1|2|node_1|3|node|3|node|3|node}}
![[Prismă 8-celule|{ }×{4,3,3}]]<br/>{{CDD|node_1|2|node_1|4|node|3|node|3|node}}
![[Prismă 120-celule|{ }×{5,3,3}]]<br/>{{CDD|node_1|2|node_1|5|node|3|node|3|node}}
![[5-simplex trunchiat |t{3,3,3,3}]]<br/>{{CDD|node_1|3|node_1|3|node|3|node|3|node}}
![[5-cub trunchiat |t{4,3,3,3}]]<br/>{{CDD|node_1|4|node_1|3|node|3|node|3|node}}
![[Fagure 24-celule trunchiat |t{3,4,3,3}]]<br/>{{CDD|node_1|3|node_1|4|node|3|node|3|node}}
|}

Alte 5-politopuri uniforme au figuri ale vârfurilor 5-celule neregulate. Simetria unei figuri a vârfului unui [[politop uniform]] este notată prin eliminarea nodurilor inelate ale diagramei Coxeter.
{| class=wikitable
!Simetrie
!colspan=2|[3,2,1], ordinul 12
!colspan=2|[3,1,1], ordinul 6
![2<sup>+</sup>,4,1], ordinul 8
![2,1,1], ordinul 4
|-
![[Diagramă Schlegel |Diagramă<br/>Schlegel]]
|[[Fișier:Bitruncated 5-simplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Bitruncated penteract verf.png|100px]]
|[[Fișier:Canitruncated 5-simplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Canitruncated 5-cube verf.png|100px]]
|[[Fișier:Bicanitruncated 5-simplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Bicanitruncated 5-cube verf.png|100px]]
|-
!Nume<br/>[[Diagramă Coxeter |Coxeter]]
![[5-simplex bitrunchiat |t<sub>12</sub>α<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node|3|node_1|3|node_1|3|node|3|node}}
![[5-cub bitrunchiat |t<sub>12</sub>γ<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node|4|node_1|3|node_1|3|node|3|node}}
![[5-simplex cantitrunchiat |t<sub>012</sub>α<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node|3|node}}
![[5-cub cantitrunchiat e|t<sub>012</sub>γ<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1|3|node|3|node}}
![[5-simplex bicantitrunchiat |t<sub>123</sub>α<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node|3|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node}}
![[5-cub bicantitrunchiat |t<sub>123</sub>γ<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node|4|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node}}
|}

{| class=wikitable
!Simetrie
!colspan=3|[2,1,1], ordinul 2
![2<sup>+</sup>,1,1], ordinul 2
![ ]<sup>+</sup>, ordinul 1
|-
![[Diagramă Schlegel |Diagramă<br/>Schlegel]]
|[[Fișier:Runcicantitruncated 5-simplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Runcicantitruncated 5-cube verf.png|100px]]
|[[Fișier:Runcicantitruncated 5-orthoplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Omnitruncated 5-simplex verf.png|100px]]
|[[Fișier:Omnitruncated 5-cube verf.png|100px]]
|-
!Nume<br/>[[Diagramă Coxeter |Coxeter]]
![[5-simplex runcicantitrunchiat |t<sub>0123</sub>α<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node}}
![[5-cub runcicantitrunchiat |t<sub>0123</sub>γ<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node}}
![[ 5-ortoplex runcicantitrunchiat |t<sub>0123</sub>β<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node_1|4|node}}
![[5-simplex omnitrunchiat |t<sub>01234</sub>α<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node_1}}
![[5-cub omnitrunchiat |t<sub>01234</sub>γ<sub>5</sub>]]<br/>{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1|3|node_1|3|node_1}}
|}

== Compuși ==
[[Fișier:Compound_dual_5-cells_A5_coxeter_plane.png|thumb|Compus de două 5-celule]]
Compusul de două 5-celule în configurație duală poate fi văzut ca proiecție în planul Coxeter A5, cu vârfurile și laturile celor două 5-celule colorate roșu, respectiv albastru. Acest compus are simetria de ordinul 240 <nowiki>[[3,3,3]]</nowiki>. Intersecția acestor două 5-celule este un [[5-celule bitrunchiat]] uniform. {{CDD|branch_11|3ab|nodes}} = {{CDD|branch|3ab|nodes_10l}} ∩ {{CDD|branch|3ab|nodes_01l}}.

Acest compus poate fi văzut ca analogul 4D al [[hexagramă |hexagramei]] 2D &#123;{{frac|6|2}}&#125; și al [[compus de două tetraedre |compusului de două tetraedre]] 3D.

== Politopuri și faguri asociați ==
5 celule este cel mai simplu dintre cele 9 [[4-politop]]uri uniforme construite din [[grup Coxeter |grupul Coxeter]] [3,3,3].
{{Familia 4-politopurilor mic}}
{{Politopuri 1 k2}}
{{Politopuri 2 k1}}

Din secvența 4-politopurilor regulate fac parte: [[tesseract]]ul {4,3,3} și [[120-celule]] {5,3,3} din 4-spațiul euclidian și [[fagure pavare hexagonală |fagurele pavare hexagonală]] {6,3,3} din spațiul hiperbolic. Toate acestea au ca figură a vârfului tetraedrul.
{{Teselări cu figura vârfului tetraedrică mic}}

5-celule este unul dintre cele 4-politopuri regulate cu celule tetraedrice, împreună cu [[16-celule]] {3,3,5} și [[600-celule]] {3,3,5} din spațiul euclidian. [[Fagure tetraedric de ordinul 6 |Fagurele tetraedric de ordinul 6]] {3,3,6} din spațiul hiperbolic are și el celule tetraedrice.
{{Teselări cu celule tetraedrice}}
{{Teselări simetrice}}
{{Teselări simetrice2}}

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Thorold Gosset|T. Gosset]]: ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
* {{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]: 
** {{Cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd}}
*** p.&nbsp;120, §7.2. see illustration Fig 7.2<small>A</small>
*** p.&nbsp;296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
** {{Citation | last=Coxeter | first=H.S.M. | year=1991 | title=Regular Complex Polytopes | place=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | edition=2nd}}
** ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html Wiley-Interscience Publication], 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}}
*** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
*** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
*** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* {{en icon}} [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=Pentatope|title=Pentatope}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=Pentachoron | title=Pentachoron}}
:* {{PolyCell | urlname = section1.html| title = 1. Convex uniform polychora based on the pentachoron - Model 1}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polychora.htm|4D uniform polytopes (polychora)|x3o3o3o - pen}}
* {{de icon}} Marco Möller, [http://www.polytope.de/c5.html Der 5-Zeller] ({{ro|5-celule}}): Polytope im R<sup>4</sup>
* {{en icon}} [http://polytope.net/hedrondude/regulars.htm Jonathan Bowers, Regular polychora]
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20110718202453/http://public.beuth-hochschule.de/~meiko/pentatope.html Java3D Applets]
* {{en icon}} [http://hi.gher.space/wiki/Pyrochoron pyrochoron]

{{Portal|Matematică}}
{{Politopuri}}

[[Categorie:4-politopuri|005]]