Vizualizare sursă pentru „16-celule”

{{Infocaseta 4-politop
| nume = 16-celule regulat<br/>(4-ortoplex)
| image = Schlegel wireframe 16-cell.png
| img_dim =
| Antet = [[Diagramă Schlegel]]<br/>(vârfuri și laturi)
| Type = [[4-politop regulat convex]]
| Schläfli = {3,3,4}
| CD = {{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
| Cell_List = 16 [[tetraedru|{3,3}]] [[Fișier:3-simplex t0.svg|25px]]
| Face_List = 32 [[triunghi|{3}]] [[Fișier:2-simplex t0.svg|25px]]
| Edge_Count = 24
| Vertex_Count = 8
| Vertex_Figure = [[Fișier:16-cell verf.svg|80px]]<br/>[[Octaedru]]
| Petrie_Polygon = [[octogon]]
| Coxeter_Group = B<sub>4</sub>, [3,3,4], [[ordin de simetrie|ordinul]] 384<br/>D<sub>4</sub>, ordinul 192
| Symmetry_Group =
| Dual = [[Tesseract]]
| Property_List = [[Politop convex |convex]], [[figură izogonală |izogonal]], [[figură izotoxală |izotoxal]], [[figură izoedrică|izoedric]]
| Index = 12
}}
[[Fișier:16-cell net.png|thumb|Desfășurata]]
În [[geometrie]] '''16-celule'''{{Efn|„16-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 16 celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 16 celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 16-celule”, nu „o/acea 16-celule”, respectiv „unele/acele 16-celule”', nu „unii/acei 16-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.}} este un obiect din [[spațiu cvadridimensional |spațiul cvadridimensional]], fiind mărginit de de 16 [[celulă (geometrie) |celule]] [[tetraedru |tetraedrice]]. Este unul dintre cele șase [[4-politop]]uri convexe regulate descrise pentru prima dată de matematicianul elvețian [[Ludwig Schläfli]] la mijlocul secolului al XIX-lea. Mai este cunoscut sub numele de '''4-ortoplex''' sau '''C<sub>16</sub>'''.<ref name=NJ>{{en icon}} [[Norman Johnson|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite Symmetry Groups'', 11.5 ''Spherical Coxeter groups'', p.249</ref>

Face parte din familia infinită de [[ortoplex |ortoplecși]] și este analog cu [[octaedru]]l din trei dimensiuni. Este politopul notat de [[Coxeter]] <math>\beta_4</math>.{{Sfn|Coxeter|1973|p=121|loc=§7.21. see illustration Fig 7.2<small>B</small>}} Numele de ''ortoplex'' i-a fost dat de [[John Horton Conway|Conway]]. [[Politop dual |Politopul său dual]] este [[tesseract]]ul (4-[[hipercub|cubul]]), cu care se poate combina formând [[compus de tesseract și 16-celule|compusul de tesseract și 16-celule]]. 16-celule are 16 celule după cum tesseractul are 16 vârfuri.

== Geometrie ==
Este mărginit de 16 celule, toate fiind tetraedre regulate. Are 32 de [[față (geometrie) |fețe]] [[triunghi echilateral |triunghiulare]], 24 de [[latură (geometrie) |laturi]] și 8 [[vârf (geometrie) |vârfuri]]. Cele 24 de laturi mărginesc 6 [[pătrat]]e din cele 6 plane ale coordonatelor.

Cele opt vârfuri ale unui 16-celule au coordonatele (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Toate vârfurile sunt conectate prin laturi, cu excepția perechilor de vârfuri opuse.

[[Simbol Schläfli |Simbolul Schläfli]] al unui 16-celule este {3,3,4}. [[Figura vârfului]] său este un [[octaedru]] regulat. În fiecare vârf se întâlnesc câte 8 tetraedre, 12 triunghiuri și 6 laturi. [[Figura laturii]] este un pătrat. Pe fiecare latură se întâlnesc 4 tetraedre și 4 triunghiuri.

16-celule poate fi descompus în două lanțuri circulare disjuncte similare de câte opt tetraedre, fiecare lanț având lungimea a patru muchii. Fiecare lanț, atunci când este întins drept, formează o [[elice Boerdijk–Coxeter]]. Această descompunere poate fi văzută într-o construcție a unei 4-4 [[duoantiprismă| duoantiprisme]] a ''16-celule'': {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} sau {{CDD|node|4|node_h|2x|node_h|4|node}}, [[simbol Schläfli]] {2}⨂{2} sau s{2}s{2}, [[Notația Coxeter |simetrie]] 4,2<sup>+</sup>,4, [[ordin de simetrie|ordinul]] 64.

Un 16-celule poate fi divizat în două [[piramidă octaedrică |piramide octaedrice]], care au în comun o nouă bază octaedrică prin centrul 16-celulei.

=== Configurație ===
Un 16-celule poate fi descris de o [[Configurație (politop) |matrice de configurație]] care conține numărul elementelor sale componente. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonala principală (din stânga sus în dreapta jos) arată câte din fiecare tip de element apar în întregul 16-celule. Celelalte numere arată câte elemente ale coloanei apar pentru sau la elementul rândului. de o matrice a configurației.
:<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}8 & 6 & 12 & 8 \\ 2 & 24 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 32 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 16 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>

== Imagini ==
{| class="wikitable" width=700 style="text-align:center;"
|-
|[[Fișier:16-cell.gif]]
|[[Fișier:16-cell-orig.gif]]
|[[Fișier:stereographic_polytope_16cell_colour.png|240px]]
|-
|Proiecție 3D a unui 16-celule<br/>executând o [[SO(4) |rotație simplă]]
|Proiecție 3D a unui 16-celule<br/>executând o [[rotație]]
|[[Proiecție stereografică]]<br/>&nbsp;
|}

=== Proiecții ortogonale ===
{{B4 Coxeter plane graphs |t3|150}}

== Teselări ==
[[Spațiu cvadridimensional |Spațiul cvadridimensional]] [[spațiu euclidian |euclidian]] poate fi [[teselare | teselat]] cu 16-celule regulate. Aceasta se numește [[fagure 16-celule]] și are [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] {3,3,4,3}. Prin urmare, 16-celule are un [[unghi diedru]] de 120°.{{Sfn|Coxeter|1973|p=293}} Fiecare 16-celule are 16 vecini cu care are în comun un tetraedru, 24 vecini cu care are în comun o latură și 72 de vecini cu care are în comun doar câte un singur punct. 24 de 16-celule se întâlnesc în fiecare vârf al aceastei teselări.

Teselarea duală este [[fagure 24-celule |fagurele 24-celule]], {3,4,3,3}, format din [[24-celule]] regulate. Împreună cu [[fagurele teseractic]], {4,3,3,4}, acestea sunt singurele trei teselări regulate din '''R'''< sup>4</sup>.

== Elicea Boerdijk–Coxeter ==
[[Fișier:16-cell 8-ring net4.png|thumb|300px|Desfășurată și proiecție ortogonală]]
Un 16-celule poate fi construit din două [[elice Boerdijk–Coxeter]] formate din câte opt tetraedre, fiecare lanț fiind pliat într-un inel cvadridimensional. Cele 16 fețe triunghiulare pot fi văzute într-o desfășurată 2D într-o [[pavare triunghiulară]], cu 6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf. Marginile purpurii reprezintă poligonul Petrie al 16-celulei.
{{-}}
== Proiecții ==
[[Fișier:Orthogonal projection envelopes 16-cell.png|thumb|300px|Proiecții ale anvelopei unei 16-celule (fiecare celulă este colorată diferit, celulele inversate nu sunt redate)]]
Proiecția ortogonală în 3-spațiu a unui 16-celule cu o celulă în față are o anvelopă cubică. Celula cea mai apropiată și cea ma depărtată sunt proiectate prin tetraedrele înscrise în cub, corespunzând celor două posibilități de a înscrie un tetraedru regulat într-un cub. În jurul fiecăruia dintre aceste două tetraedre sunt alte 4 volume tetraedrice (neregulate), care sunt imaginile celor 4 celule tetraedrice din jur, umplând spațiul dintre tetraedrul încris și cub. Restul de 6 celule sunt proiectate pe fețele pătrate ale cubului. În această proiecție a 16-celulei, toate marginile sale se află pe fețele anvelopei cubice.

Proiecția în perspectivă cu o celulă în față are o anvelopă [[tetraedru trakis | tetraedrică trakis]]. Dispunerea celulelor din acest anvelopă este analoagă cu cea a proiecției paralele cu o celulă în față.

Proiecția ortogonală cu o față în față are o anvelopă [[bipiramidă hexagonală]], iar proiecția ortogonală cu o latură în față are o anvelopă [[octaedru |oactaedrică]] scrurtată.

Proiecția ortogonală cu un vârf în față are o anvelopă octaedrică. Acest octaedru poate fi împărțit în 8 volume tetraedrice, prin tăierea de-a lungul planelor coordonatelor. Fiecare dintre aceste volume este imaginea unei perechi de celule din 16-celule. Cel mai apropiat vârf al 16-celulei se proiectează în centrul octaedrului.
{{-}}
== Diagrama Venn a 4-sferei ==
{{imagine multiplă
 | align = right  | total_width = 310
 | image1 = 4 spheres as rings, vertical.png
 | image2 = Stereographic polytope 16cell.png
 | footer = Diagramă Venn a unei 4-sfere și<br/>proiecția unui 16-celule având aceeași [[orientare (geometrie)|orientare]]
}}
Proiecția [[tridimensional]]ă a 16-celule și a 4-sferă care se intersectează (o [[diagramă Venn]] de 4 seturi) sunt [[topologie |topologic]] echivalente:
{{imagine multiplă
 | align = left  | total_width = 690
 | image1 = 4 spheres, cell 00, solid.png
 | image2 = 4 spheres, weight 1, solid.png
 | image3 = 4 spheres, weight 2, solid.png
 | image4 = 4 spheres, weight 3, solid.png
 | image5 = 4 spheres, cell 15, solid.png
 | footer = 16-celule ordonat după numărul de sfere intersectate (de la 0 la 4) &nbsp;&nbsp;&nbsp;<small> (v. detalii la [[c:Category:Venn spheres rgby; 16 cells|Commons]])</small>
}}
{{-}}
== Construcții cu diferite simetrii ==
Există o [[formă]] a ''16-celule'' cu un număr inferior de simetrii, numită '''semitesseract''' sau '''4-semicub''', un membru al familiei [[semihipercub]]urilor, reprezentată de h{4,3,3} și diagramele Coxeter {{CDD|node_h1|4|node|3|node|3|node}} sau {{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}}. Aceasta pot fi colorată bicolor alternând celulele tetraedriece.

Poate fi văzut și sub formă de '''antiprismă tetraedrică''', tot cu un număr inferior de simetrii, construit din 2 tetraedre paralele în configurații duale, conectate prin 8 tetraedre (posibil alungite). Este reprezentat de s{2,4,3} și diagrama Coxeter: {{CDD|node_h|2x|node_h|4|node|3|node}}.

Poate fi văzut și ca un 4-[[hiperdreptunghi]] [[snub]], reprezentat de s{2<sup>1,1,1</sup>} și diagramele Coxeter: {{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} sau {{CDD|node_h|2x|node_h|split1-22|nodes_hh}}.

Considerând tesseractul ca fiind o 4-4 duoprismă, 16-celule poate fi văzut ca dualul său, o 4-4 [[duopiramidă]].

{| class=wikitable style="text-align:center;"
!Nume
![[Diagramă Coxeter]]
![[Simbol Schläfli]]
![[Notația Coxeter]]
!Ordin
![[Figura vârfului]]
|-
!16-celule regulat
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
|{3,3,4}
|[3,3,4]||384
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|-
!Semitesseract<br/>16-celule [[politop cvasiregulat |cvasiregulat]]
|{{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}} = {{CDD|node_h1|4|node|3|node|3|node}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|split1|nodes}} = {{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node_h0}}
|h{4,3,3}<br/>{3,3<sup>1,1</sup>}
|[3<sup>1,1,1</sup>] = [1<sup>+</sup>,4,3,3]||192
|{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
|-
!4-4 [[duoprismă]] alternată
|{{CDD|label2|branch_hh|4a4b|nodes}}
|2s{4,2,4}
|[[4,2<sup>+</sup>,4]]||64
|
|-
!Antiprismă tetraedrică
|{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node|3|node}}
|s{2,4,3}
|[2<sup>+</sup>,4,3]||48
|
|-
!Prismă pătrată prismatică alternată
|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|4|node}}
|sr{2,2,4}
|[(2,2)<sup>+</sup>,4]||16
|
|-
!4-[[hiperdreptunghi]] snub
|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h|2x|node_h}} = {{CDD|node_h|2x|node_h|split1-22|nodes_hh}}
|s{2<sup>1,1,1</sup>}
|[2,2,2]<sup>+</sup> = [2<sup>1,1,1</sup>]<sup>+</sup>||8
|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}
|-
!rowspan=6|4-[[fusil rombic |fusil]]
|-
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|3|node}}
|{3,3,4}
|[3,3,4]||384
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node}}
|-
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1|4|node}}
|{4}+{4} or 2{4}
|<nowiki>[[4,2,4]]</nowiki> = [8,2<sup>+</sup>,8]||128
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1}}
|-
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2x|node_f1}}
|{3,4}+{ }
|[4,3,2]||96
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node}}<br/>{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1}}
|-
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|{4}+2{ }
|[4,2,2]||32
|{{CDD|node_f1|4|node|2x|node_f1}}<br/>{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|-
|{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|{ }+{ }+{ }+{ } or 4{ }
|[2,2,2]||16
|{{CDD|node_f1|2x|node_f1|2x|node_f1}}
|}

== Poligoane complexe asociate ==
{| class=wikitable width=310 align=right
|+ Proiecții ortogonale ale poligonului<sub>2</sub>{4}<sub>4</sub>
|-
|[[Fișier:Complex polygon 2-4-4.png|160px]]
|[[Fișier:Complex_polygon_2-4-4_bipartite_graph.png|160px]]
|-
|În planul Coxeter B<sub>4</sub>, <sub>2</sub>{4}<sub>4</sub> are 8 vârfuri și 16 laturi, în 4 seturi colorate diferit.
|Cele 8 vârfuri sunt grupate în 2 seturi (roșu și albastru), fiecare vârf fiind conectat prin laturi doar la vârfurile din celălalt set, făcând ca acest poligon să fie un [[graf bipartit complet]], K<sub>4,4</sub>.<ref>Regular Complex Polytopes, p.&nbsp;114</ref>
|}
[[Poligon Möbius–Kantor |Poligonul Möbius–Kantor]] este un poligon complex regulat <sub>3</sub>{3}<sub>3</sub>, {{CDD|3node_1|3|3node}}, în <math>\mathbb{C}^2</math> are aceleași vârfuri cu 16-celule. Are 8 vârfuri și 8 3-fețe.<ref>Coxeter, Shephard, 1991, p.&nbsp;30, 47</ref><ref>Coxeter, Shephard, 1992</ref>

Poligonul complex regulat <sub>2</sub>{4}<sub>4</sub>, {{CDD|node_1|4|4node}}, în <math>\mathbb{C}^2</math> are o reprezentare reală ca 16-celule în spațiul cvadridimensional, cu 8 vârfuri, 16 laturi (2-fețe), doar jumătate din laturile unui 16-celule. Simetria sa este <sub>4</sub>[4]<sub>2</sub>, ordinul 32.<ref>Regular Complex Polytopes, p. 108</ref>

== Politopuri și faguri uniformi asociați ==
16-celule regulat împreună cu tesseractul fac parte dintr-un set de 15 [[4-politop uniform |4-politopuri uniforme]] cu aceeași simetrie. De asemenea, face parte dintre politopurile uniforme cu simetria D<sub>4</sub>.

De asemenea, acest 4-politop este legat de [[fagure cubic |fagurele cubic]], [[fagure dodecaedric de ordinul 4 |fagurele dodecaedric de ordinul 4]] și [[fagure pavare hexagonală de ordinul 4 |fagurele pavare hexagonală de ordinul 4]] care toate au figuri ale vârfului octaedriece.

Este într-o secvență de [[4-politop regulat |4-politopuri regulate]]: împreună cu [[5-celule]] {3,3,3}, [[600-celule]] {3,3,5} din 4-spațiul euclidian și cu [[fagure tetraedric de ordinul 6 |fagurele tetraedric de ordinul 6]] {3,3,6} din [[spațiu hiperbolic |spațiu hiperbolic]]. Toți aceștia au celule tetraedrice.

Este primul din secvența politopurilor și fagurilor cvasiregulați h{4,p,q} și a secvenței formelor cu simetria pe jumătate {p,3,4} regulate.

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
{{listănote|25em}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Thorold Gosset|T. Gosset]]: ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
* {{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]: 
** {{Cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd }}
** ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ''The Symmetries of Things'' 2008, {{ISBN|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;409: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* {{en icon}} [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|16-cell|16-celule}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = 16-Cell | title = 16-Cell}}
* {{de icon}} [http://www.polytope.de/c16.html Der 16-Zeller (16-cell)] Marco Möller's Regular polytopes in R<sup>4</sup>
* {{en icon}} [http://eusebeia.dyndns.org/4d/16-cell.html Description and diagrams of 16-cell projections] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20201107174306/http://eusebeia.dyndns.org/4d/16-cell.html |date=2020-11-07 }}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polychora.htm|4D uniform polytopes (polychora)|x3o3o4o - hex}}

{{Portal|Matematică}}
{{Politopuri}}

[[Categorie:4-politopuri|016]]