Vizualizare sursă pentru „120-celule”

{{Infocaseta 4-politop
| nume = 120-celule regulat<br/>(dodecaplex)
| image = Schlegel wireframe 120-cell.png
| img_dim =
| Antet = [[Diagramă Schlegel]]<br/>(vârfuri și laturi)
| Type = [[4-politop regulat]] [[convexitate|convex]]
| Schläfli = {5,3,3}
| CD={{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}}
| Cell_List = 120 [[dodecaedru|{5,3}]] [[Fișier:Dodecahedron.png|25px]]
| Face_List = 720 [[pentagon|{5}]] [[Fișier:Regular pentagon.svg|25px]]
| Edge_Count = 1200
| Vertex_Count = 600
| Vertex_Figure = [[Fișier:120-cell verf.svg|80px]]<br/>[[Tetraedru]]
| Petrie_Polygon = [[triacontagon|30-gon]]
| Coxeter_Group = H<sub>4</sub>, [3,3,5], [[ordin de simetrie|ordin]] 1440
| Symmetry_Group =
| Dual = [[600-celule]]
| Property_List = [[Politop convex |convex]], [[figură izogonală |izogonal]], [[figură izotoxală |izotoxal]], [[figură izoedrică|izoedric]]
| Index = 32
}}
[[Fișier:120-cell net.png|thumb|Desfășurata]]
În [[geometrie]] '''120-celule'''{{Efn|„120-celule” este o prescurtare a expresiei din limba română „un politop cvadridimensional format din 120 de celule”, plural „două sau mai multe politopuri cvadridimesnsionale formate din câte 120 de celule”, expresii care se acordă corespunzător, deci se vorbește despre „un/acel 120-celule”, nu „o/acea 120-celule”, respectiv „unele/acele 120-celule”', nu „unii/acei 120-celule”. La fel la celelalte politopuri ale căror nume este de forma „n-celule”.}} este un obiect din [[spațiu cvadridimensional |spațiul cvadridimensional]], unul dintre cele șase [[4-politop]]uri convexe regulate descrise pentru prima dată de matematicianul elvețian [[Ludwig Schläfli]] la mijlocul secolului al XIX-lea. Mai este cunoscut sub numele de '''dodecaplex''' (prescurtare a expresiei „complex de dodecaedre”), '''hiperdodecaedru''' sau '''C<sub>120</sub>'''.<ref name=NJ>{{en icon}} [[Norman Johnson|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite Symmetry Groups'', 11.5 ''Spherical Coxeter groups'', p.249</ref>

Poate fi considerat analogul în 4 dimensiuni al [[dodecaedru regulat |dodecaedrului regulat]]. Așa cum un dodecaedru poate fi construit din 12 [[pentagon|pentagoane]], câte 3 în jurul fiecărui vârf, „dodecaplexul” poate fi construit din 120 [[celulă (geometrie) |celule]] [[dodecaedru regulat |dodecaedrice]], care se întâlnesc câte 3 în jurul fiecărei [[latură (geometrie)|laturi]] și câte 4 în fiecare [[vârf (geometrie)|vârf]].

== Elemente ==
* Are 120 de celule, 720 de fețe pentagonale, 1200 de laturi și 600 de vârfuri.
* La fiecare vârf se întâlnesc câte 4 dodecaedre, 6 pentagoane și 4 laturi.
* La fiecare latură se întâlnesc câte 3 dodecaedre și 3 pentagoane.
* [[Politop dual |Politopul său dual]] este [[600-celule]].
* Împreună cu dualul său formează [[Compus de 120-celule și 600-celule |compusul de 120-celule și 600-celule]].
* [[Figura vârfului]] 120-celule este un [[tetraedru]].
* [[Unghi diedru |Unghiul diedru]] (între hiperplanele [[fațetă (geometrie)|fațetelor]] este 144°.<ref>Coxeter, Regular polytopes, p.293</ref><!--({5,3,3} -> {p,q,r}: angle=2arcsin[(cos(π/r)/sin(π/q))/(sin(2arcsin(cos(π/q)/sin(π/p)))])-->

=== Configurație ===
Matricea de configurație de mai jos descrie 120-celule. Rândurile și coloanele corespund vârfurilor, laturilor, fețelor și celulelor. Numerele de pe diagonale spun câte din fiecare element apar în întreagul 120-celule. Celelalte numere indică câte dintre elementele coloanei apar în sau la elementul rândului.<ref>Coxeter, ''Regular Polytopes'', sec 1.8 Configurations</ref><ref>Coxeter, ''Complex Regular Polytopes'', p.&nbsp;117 </ref>

<math>\begin{bmatrix}\begin{matrix}600 & 4 & 6 & 4 \\ 2 & 1200 & 3 & 3 \\ 5 & 5 & 720 & 2 \\ 20 & 30 & 12 & 120 \end{matrix}\end{bmatrix}</math>

Tabelul următor arată configurația extinsă cu ''k''-elemente de față și ''k''-figuri. Numărul de elemente diagonale reprezintă [[ordin de simetrie|ordinul]] întregului [[grup Coxeter]], 14400, împărțit la ordinul subgrupului cu eliminarea oglinzii.

{| class=wikitable width=540 style="text-align:right;"
!H<sub>4</sub>||{{CDD|node_1|5|node|3|node|3|node}}
! [[Față (geometrie)|''k''-față]]||f<sub>k</sub>||f<sub>0</sub> || f<sub>1</sub>||f<sub>2</sub>||f<sub>3</sub>||[[figura vârfului|''k''-fig]]
!Note
|-
|A<sub>3</sub> || {{CDD|node_x|2|node|3|node|3|node}} ||( ) 
!f<sub>0</sub>
|| 600 || 4 || 6 || 4 ||[[tetraedru|{3,3}]] || H<sub>4</sub>/A<sub>3</sub> = 14400/24 = 600
|-
|A<sub>1</sub>A<sub>2</sub> ||{{CDD|node_1|2|node_x|2|node|3|node}} ||{ }
!f<sub>1</sub>
|| 2 || 720 || 3 || 3 || [[triunghi echilateral|{3}]] || H<sub>4</sub>/A<sub>2</sub>A<sub>1</sub> = 14400/6/2 = 1200
|-
|H<sub>2</sub>A<sub>1</sub> ||{{CDD|node_1|5|node|2|node_x|2|node}} ||[[pentagon|{5}]]
!f<sub>2</sub>
|| 5 || 5 || 1200 || 2 || { } || H<sub>4</sub>/H<sub>2</sub>A<sub>1</sub> = 14400/10/2 = 720
|-
|H<sub>3</sub> ||{{CDD|node_1|5|node|3|node|2|node_x}} ||[[dodecaedru|{5,3}]]
!f<sub>3</sub>
||  20 || 30 || 12 ||120|| ( ) || H<sub>4</sub>/H<sub>3</sub> = 14400/120 = 120
|}

== Coordonate carteziene ==
Cele 600 de vârfuri ale unui 120-celule cu o lungime a laturii de {{sfrac|2|φ<sup>2</sup>}}&nbsp;= 3–{{radic|5}} și o rază de la [[centru (geometrie)|centru]] la vârf de {{radic|8}}&nbsp;= 2{{radic|2}} include toate [[permutare |permutările]]:<ref>{{mathworld|title=120-cell|urlname=120-Cell}}</ref>
: (0, 0, ±2, ±2)
: (±1, ±1, ±1, ±{{radic|5}})
: (±φ<sup>−2</sup>, ±φ, ±φ, ±φ)
: (±φ<sup>−1</sup>, ±φ<sup>−1</sup>, ±φ<sup>−1</sup>, ±φ<sup>2</sup>)

și toate permutările pare ale:
: (0, ±φ<sup>−2</sup>, ±1, ±φ<sup>2</sup>)
: (0, ±φ<sup>−1</sup>, ±φ, ±{{radic|5}})
: (±φ<sup>−1</sup>, ±1, ±φ, ±2)

unde φ este [[secțiunea de aur]], {{sfrac|1 + {{radic|5}}|2}}.

Având în vedere [[matrice de adiacență |matricea de adiacență]] a vârfurilor reprezentând [[graf poliedric |graful său poliedric]], diametrul grafului este 15, conectând fiecare vârf cu cel de la negativul coordonatelor sale, la o [[distanță euclidiană|distanță]] de 4{{radic|2}}. Există 24 de căi diferite de a le conecta de-a lungul laturilor politopului. Din fiecare vârf există 4 vârfuri la distanța 1, 12 la distanța 2, 24 la distanța 3, 36 la distanța 4, 52 la distanța 5, 68 la distanța 6, 76 la distanța 7, 78 la distanța 8, 72 la distanță 9, 64 la distanță 10, 56 la distanță 11, 40 la distanță 12, 12 la distanță 13, 4 la distanță 14 și 1 la distanță 15. Matricea de adiacență are 27 de valori proprii distincte variind de la {{sfrac|2|φ<sup>2</sup>}}, cu o [[multiplicitate]] de 4, la 4, cu o multiplicitate de 1. Multiplicitatea valorii proprii 0 este 18, iar rangul matricei de adiacență este 582.

== Vizualizare ==
120-celule este format din 120 de celule dodecaedrice. În scopul vizualizării este convenabil ca dodecaedrele să fie aliniate (o trăsătură pe care o au și celulele [[tesseract]]ului și [[24-celule]]i). Se pot alinia dodecaedrele față la față pe o dreaptă îndoită în a 4-a dimensiune într-un cerc mare cu o circumferință de 10 celule. Pornind de la această construcție inițială de zece celule, există două vizualizări obișnuite care pot fi folosite: o proiecție stereografică stratificată și o structură de inele care se împletesc.

=== Proiecția stereografică stratificată ===
Pozițiile celulelor se pretează la o descriere [[hipersferă|hipersferică]]. Fie un dodecaedru arbitrar etichetat „polul nord”. Douăsprezece [[arc (geometrie)|arce]] de [[cerc mare |cercuri mari]] [[meridian]]e (lungi de patru celule) sunt distribuite radial în 3 dimensiuni, convergând într-o a cincea celulă, „polul sud”. Acest schelet reprezintă 50 din cele 120 de celule (2 + 4 × 12).

Începând de la polul nord, în tabelul de mai jos se construiește 120-celule în 9 straturi pe latitudine, în stilul topografiei terestre a 2-sferei. Cu excepția polilor, centroizii celulelor fiecărui strat se află pe o 2-sferă separată, cu centroizii ecuatoriali care se află pe o mare 2-sferă. Centroizii celor 30 de celule ecuatoriale formează vârfurile unui [[icosidodecaedru]], cu meridianele (așa cum s-a descris mai sus) trecând prin centrul fiecărei fețe pentagonale. Celulele etichetate „interstițiale” în tabelul următor nu sunt pe cercurile mari meridiane.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
! Nr. strat
! Nr. celule
! Descriere
! Colatitudine
! Regiune
|-
| 1
| 1
| style="text-align:left;"|Polul nord
| 0°
| rowspan="4" | Emisfera<br/>nordică
|-
| 2
| 12
| style="text-align:left;"| Primul strat al celulelor meridionale / "[[Cercul Arctic]]"
| 36°
|-
| 3
| 20
| style="text-align:left;"| Nemeridian / interstițial
| 60°
|-
| 4
| 12
| style="text-align:left;"| Al doilea strat al celulelor meridionale / "[[Tropicul Cancerului]]"
| 72°
|-
| 5
| 30
| style="text-align:left;"| Nemeridian / interstițial
| 90°
| Ecuator
|-
| 6
| 12
| style="text-align:left;"|Al treilea strat al celulelor meridionale / "[[Tropicul Capricornului]]"
| 108°
| rowspan="4" | Emisfera<br/>sudică
|-
| 7
| 20
| style="text-align:left;"| Nemeridian / interstițial
| 120°
|-
| 8
| 12
| style="text-align:left;"| Al patrulea strat al celulelor meridionale / "[[Cercul Antarctic]]"
| 144°
|-
| 9
| 1
| style="text-align:left;"| Polul sud
| 180°
|-
! Total
! 120 celule
! colspan="3" |
|}

Celulele straturilor 2, 4, 6 și 8 sunt situate peste fețele celulelor polare. Celulele straturilor 3 și 7 sunt situate direct pe vârfurile celulelor polare. Celulele stratului 5 sunt situate pe laturile celulelor polare.

=== Structura de inele care se împletesc ===
[[Fișier:120-cell rings.jpg|right|thumb|300px|Două inele împletite ale unui 120-celule]]
[[Fișier:120-cell_two_orthogonal_rings.png|thumb|300px|Două inele ortogonale într-o proiecție cu o celulă în centru]]
120-celule poate fi divizat în 12 inele de cercuri mari de câte 10 celule, [[mulțimi disjuncte|disjuncte]], formând o [[fibrare Hopf]] discretă/cuantificată. Începând cu un inel cu 10 celule, se poate așeza un alt inel alături de el, care spiralează în jurul primului inel, executând o revoluție completă la 10 celule. Cinci astfel de inele cu 10 celule pot fi plasate adiacent inelului inițial. Deși inelele exterioare „spiralează” în jurul inelului interior (și fiecare în jurul fiecăruia), ele nu au de fapt o [[formă]] elicoidală [[torsiune |torsionată]]. Toate sunt echivalente. Spiralarea este rezultatul curburii 3-sferei. Inelul „interior” și cele cinci inele „exterioare” formează acum un [[tor]] cu șase inele și 60 de celule. Se poate continua adăugarea de inele cu 10 celule adiacente celor anterioare, dar este mai instructivă construcția unui al doilea tor, disjunct de cel de mai sus, din celelalte 60 de celule, care se interconectează cu primul. 120-celule, ca și 3-sfera, este reuniunea acestor două toruri ([[Tor Clifford |Clifford]]). Dacă inelul central al primului tor este un cerc mare meridian așa cum s-a definit mai sus, inelul central al celui de-al doilea tor este cercul mare ecuatorial care este centrat pe cercul meridian. De reținut că învelișul spiralat de 50 de celule în jurul unui inel central poate fi pe stânga sau pe drepta. Este doar o chestiune de divizare diferită a celulelor, adică de alegerea unui alt set de cercuri mari disjuncte.

=== Alte construcții ale cercului mare ===
Există o altă cale a cercurilor mari care prezintă interes, cea care trece alternativ prin vârfurile celulelor opuse, apoi de-a lungul unei laturi. Această cale este formată din 6 celule și 6 margini. Ambele căi ale cercurilor mari de mai sus au căi duale ale cercurilor mari în 600-celule. Calea precedentă de 10 celule față la față se aplică pe calea celor 10 vârfuri care trece de-a lungul laturilor 600-celulei, formând un decagon. Calea alternată celulă/latură de mai sus se aplică pe o cale constând din 12 tetraedre care se întâlnesc alternat față la față, apoi vârf la vârf (șase [[bipiramidă triunghiulară |bipiramide triunghiulare]]) în 600-celule. Această din urmă cale corespunde unui inel format din șase icosaedre care se întâlnesc față la față în [[24-celule snub]] (sau [[piramidă icosaedrică]] în 600-celule).

== Proiecții ==
=== Proiecții ortogonale ===
[[Proiecție ortogonală |Proiecția ortogonală]] a unui 120-celule se poate face în [[2D]] prin definirea a doi vectori de bază ortonormali pentru o direcție specifică de vizualizare. Proiecția 30-gonală a fost realizată în 1963 de B.L. Chilton.<ref>{{en icon}} B.L. Chilton, [https://books.google.com/books?id=dxlND0gdXjsC&pg=PA385&lpg=PA385&dq="B.+L.+Chilton"+polytopes ''On the projection of the regular polytope {5,3,3} into a regular triacontagon''], ''Canadian Mathematical Bulletin'', 1964, p.&nbsp;385–398</ref>

Proiecția H<sub>3</sub> [[decagon]]ală arată planul ''poligonului van Oss''.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale ale planelor Coxeter
|-
!H<sub>4</sub>
! –
!F<sub>4</sub>
|-
|[[Fișier:120-cell graph H4.svg|240px]]<br/>[30]
|[[Fișier:120-cell t0 p20.svg|240px]]<br/>[20]
|[[Fișier:120-cell t0 F4.svg|240px]]<br/>[12]
|-
!H<sub>3</sub>
!A<sub>2</sub> / B<sub>3</sub> / D<sub>4</sub>
!A<sub>3</sub> / B<sub>2</sub>
|-
|[[Fișier:120-cell t0 H3.svg|240px]]<br/>[10]
|[[Fișier:120-cell t0 A2.svg|240px]]<br/>[6]
|[[Fișier:120-cell t0 A3.svg|240px]]<br/>[4]
|}

Proiecțiile ortogonale tridimensionale pot fi realizate cu trei vectori de bază ortonormali și afișate ca model [[3D]], apoi proiectând o anumită perspectivă tridimensională într-o imagine 2D.

{| class="wikitable" width=540 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale 3D
|[[Fișier:120Cell 3D.png|270px]]<br/><br/>Proiecție izometrică 3D
|[[Fișier:Cell120.ogv]]<br/>Rotație cvadridimensională animată
|}

=== Proiecții în perspectivă ===
Acestea sunt proiecții în [[perspectivă]], dintr-un punct de vedere din spațiul cvadridimensional, și proiectează modelul ca o imagine 3D. Prin urmare, fețele și celulele care par mai mari sunt doar mai aproape de punctul de vedere 4D. [[Diagramă Schlegel |Diagrama Schlegel]] folosește perspectiva pentru a afișa figuri cvadridimensionale, alegând un punct ''deasupra'' unei anumite celule, făcând astfel celula să fie anvelopa 3D, iar alte celule sunt văzute mai mici în interiorul ei. [[Proiecție stereografică |Proiecția stereografică]] utilizează aceeași abordare, dar sunt prezentate cu laturile curbate, reprezentând politopul ca o [[pavare|teselare]] a unei [[3-sferă |3-sfere]].

În tabelul următor se prezintă o comparație a proiecțiilor în perspectivă ale unui dodecaedru (tridimensional) și a unui 120-celule (cvadridimensional).

{|class="wikitable" width=540 style="text-align:center;"
|+ Comparație ci un dodecaedru regulat
|-
!width=80|Proiecție
![[Dodecaedru]]
!120-celule
|-
!Diagramă Schlegel
|[[Fișier:Dodecahedron schlegel.svg|220px]]<br/>12 fețe pentagonale bidimensionale
|[[Fișier:Schlegel wireframe 120-cell.png|220px]]<br/>120 de celule dodecaedrice tridimensionale
|-
!Proiecție stereografică
|[[Fișier:Dodecahedron stereographic projection.png|220px]]
|[[Fișier:Stereographic polytope 120cell faces.png|220px]]<br/>Cu fețe transparente
|}

{|class="wikitable"
|+ Proiecții în perspectivă
|-
|align=center|[[Fișier:120-cell perspective-cell-first-02.png|240px]]
|Proiecție în perspectivă cu o celulă în față, de la de 5 ori distanța de la punctul de vedere la un vârf, cu aceste modificări:
* cel mai apropiat dodecaedru de punctul de vedere cvadridimensional este colorat galben
* cele 12 dodecaedre adiacente sunt colorate albastru;
* restul dodecaedrelor sunt colorate verde;
* celulele care sunt îndreptate în alte direcții decât cea a punctului de vedere (acelea care se află pe „fața îndepărtată” a 120-celulei) sunt eliminate pentru clarifica imaginea.
|-
|align=center|[[Fișier:120-cell perspective-vertex-first-02.png|240px]]
|Proiecție în perspectivă cu un vârf în față, de la de 5 ori distanța de la punctul de vedere la un vârf, cu aceste modificări:
* cele 4 celule din jurul vârfului sunt colorate diferit;
* cel mai apropiat vârf este colorat alb (în mijlocul imaginii, unde celulele se întâlnesc);
* restul celulelor sunt colorate verde transparent;
* celulele care sunt îndreptate în alte direcții decât cea a punctului de vedere sunt eliminate pentru clarifica imaginea.

|-
|align=center|[[Fișier:120-cell.gif|256px]]
| O proiecție 3D a unui 120-celule care efectuează o [[Rotație în spațiul euclidian cvadridimensional#Rotații_simple |rotație simplă]].
|-
|align=center|[[Fișier:120-cell-inner.gif|256px]]
| O proiecție 3D a unei 120-celule care efectuează o rotație simplă (văzută din interior).
|-
|align=center|[[Fișier:Cell120Persp.ogv|240px]]
|Rotație cvadridimensională animată.
|}

== Poliedre și faguri asociați ==
120-celule este unul dintre cele 15 [[politop regulat|politopuri regulate]] și [[4-politop uniform |uniforme]] cu aceeași simetrie [3,3,5]:
{{Familia H4}}

Este similar cu trei [[4-politop regulat |4-politopuri regulate]] din spațiul cvadridimensional euclidian: [[5-celule]] {3,3,3}, [[tesseract]] {4,3,3}, și [[fagure pavare hexagonală |fagurele pavare hexagonală]] din spațiul hiperbolic. Toate acestea au tetraedrul ca figura vârfului.
{{Teselări cu figura vârfului tetraedrică mic}}

Acest fagure face parte dintr-o secvență de 4-politopuri și faguri cu celule dodecaedrice:
{{Teselări dodecaedrice mic}}

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
{{listănote|25em}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Coxeter|H.S.M. Coxeter]], ''Regular Polytopes'', 3rd. ed., Dover Publications, 1973. {{ISBN|0-486-61480-8}}.
* {{en icon}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''], edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}}
** (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes I'', Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10
** (Paper 23) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', Math. Zeit. 188 (1985) 559-591
** (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', Math. Zeit. 200 (1988) 3-45
* {{en icon}} [[John Horton Conway]], [[Michael Guy]]: ''Four-Dimensional Archimedean Polytopes'', Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
* {{en icon}} {{Citation | last1=Davis | first1=Michael W. | title=A hyperbolic 4-manifold | doi=10.2307/2044771 | mr=770546 | year=1985 | journal=Proceedings of the American Mathematical Society | issn=0002-9939 | volume=93 | issue=2 | pages=325–328| jstor=2044771 }}
* [[Norman Johnson]]: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
* {{de icon}} [http://www.polytope.de Four-dimensional Archimedean Polytopes] (German), Marco Möller, [http://www.sub.uni-hamburg.de/opus/volltexte/2004/2196/pdf/Dissertation.pdf PhD dissertation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050322235615/http://www.sub.uni-hamburg.de/opus/volltexte/2004/2196/pdf/Dissertation.pdf |date=2005-03-22 }}, 2004

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|120-cell|120-celule}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = 120-Cell | title = 120-Cell}}
* {{en icon}} {{GlossaryForHyperspace | anchor=hecatonicosachoron | title=Hecatonicosachoron}}
:* {{PolyCell | urlname = section4.html| title = Convex uniform polychora based on the hecatonicosachoron (120-cell) and hexacosichoron (600-cell) - Model 32}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polychora.htm|4D uniform polytopes (polychora)|o3o3o5x - hi}}
* {{de icon}} [http://www.polytope.de/c120.html Der 120-Zeller (120-cell)] Marco Möller's Regular polytopes in R<sup>4</sup> (German)
* {{en icon}} [http://www.gravitation3d.com/120cell/ 120-cell explorer] &ndash; A free interactive program that allows you to learn about a number of the 120-cell symmetries.  The 120-cell is projected to 3 dimensions and then rendered using OpenGL.
* {{en icon}} [http://www.theory.org/geotopo/120-cell/ Construction of the Hyper-Dodecahedron]
* {{en icon}} [https://www.youtube.com/watch?v=MFXRRW9goTs/ YouTube animation of the construction of the 120-cell]  Gian Marco Todesco.

{{Portal|Matematică}}
{{Politopuri}}

[[Categorie:4-politopuri|120]]