Vizualizare sursă pentru „0,(9)=1”

[[Fișier:999 Perspective 2.svg|300px|right]]
În matematică, '''0,(9)''' (notat și 0,999...; ambele notații desemnează un zero, urmat de un număr infinit de zecimale cu [[valoare (matematică) |valoarea]] 9) este o [[fracție periodică]], [[egalitate (matematică)|egală]] cu 1. Cu alte cuvinte, următoarele trei simboluri:
* ''0,(9)''
* ''0,999...''
* ''1''
reprezintă același [[număr]] (real, rațional, întreg și natural).

{|class=wikitable align=right
|-
| ipoteză   || &nbsp; 10 × 0,999… = 9,999…
|-
| ipoteză   || &nbsp; ''c'' = 0,999…
|-
| pasul 1   || &nbsp; 10''c'' = 9,999…
|-
| pasul 2   || &nbsp; 10''c'' - ''c'' = 9,999… − 0,999… &nbsp;
|-
| pasul 3   || &nbsp; 9''c'' = 9
|-
| concluzie || &nbsp; ''c'' = 1
|}

Demonstrația faptului că '''0,(9)''' este de fapt '''1''' se poate realiza în mai multe modalități.
Una din acestea se bazează pe noțiunea de [[limită a unui șir]]:

::<math>0{,}999\ldots = \lim_{n\to\infty}0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k}  = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,</math>

== Vezi și ==
* [[Paradoxul lui Zenon]]
* [[Împărțire la zero]]
* [[Reprezentare zecimală]]
* [[Infinit]]

== Legături externe ==
{{commonscat-inline|0.999...}}
* {{en icon}} [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml .999999... = 1?] from [http://www.cut-the-knot.org cut-the-knot.org]
* {{en icon}} [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Why does 0.9999… = 1 ?]
* {{en icon}} [http://www.newton.dep.anl.gov/askasci/math99/math99167.htm Ask A Scientist: Repeating Decimals]
* {{en icon}} [http://descmath.com/diag/nines.html Repeating Nines]
* {{en icon}} [http://qntm.org/pointnine Point nine recurring equals one]
* {{en icon}} [http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html David Tall's research on mathematics cognition]
* {{en icon}} [http://mathforum.org/library/drmath/view/64296.html/ 0.999... and Infinity]

[[Categorie:Demonstrații]]
[[Categorie:Paradoxuri matematice]]
[[Categorie:Numerație]]
[[Categorie:Numere reale]]
[[Categorie:1 (număr)]]