Vizualizare sursă pentru „Împărțirea cu zero”

{{despre|conceptul din [[matematică]] și excepția din programe pentru calculator|o carte de [[Ted Chiang]]|Împărțirea la zero (carte)}}

[[File:Hyperbola one over x.svg|thumb|290px|alt= Graficul indică reprezentarea diagramei ale limitelor care se apropie de infinit|Funcția ''y''&nbsp;=&nbsp;1/''x'' este reprezentată în această diagramă. Pe măsură ce ''x'' se apropie de 0 din dreapta, ''y'' tinde la [[plus]] [[infinit]]. Similar, pe măsură ce ''x'' se apropie de 0 din stânga, ''y'' tinde la [[minus]] [[infinit]].]]

'''Împărțirea cu zero''' sau '''împărțirea la zero''' este [[Împărțire (matematică)|împărțirea]] în care împărțitorul (sau divizorul) este [[zero]].

Formal, o astfel de împărțire poate fi exprimată sub forma unei [[Fracție|fracții]] de tipul {{sfrac|''a''|0}}, unde ''a'' este [[numărător]]ul fracției sau deîmpărțitul operației. În [[aritmetică|aritmetica]] elementară, expresia reprezentând împărțirea la zero nu are sens, întrucât nu există niciun [[număr]] care multiplicat cu zero să dea rezultatul ''a'' (pentru orice ''a'' nenul, ori  ''a''&nbsp;≠&nbsp;0). Ca atare, împărțirea la zero este o operație [[expresie nedefinită|nedefinită]]. 

Însă împărțind un număr ''a'' la un [[infinitezimal|număr n foarte mic]], adică în vecinătatea lui zero (de exemplu o milionime), se poate da un sens fracției anterioare, locul lui 0 fiind luat de numărul ''n'' foarte mic apropriat de zero {{sfrac|''a''|n}}. Acesta este un exemplu de aproximare a unui număr printr-un șir de numere progresiv descrescătoare spre numărul dat, constituind o trecere la limita unui șir numeric convergent. Împărțirea cu acest număr foarte mic dă un număr foarte mare. Cu cât numărul variabil de la [[numitor]] este mai mic, adică este mai apropriat de zero, cu atât rezultatul împărțirii este mai mare. Valorea limită [[infinit]] se obține prin micșorarea nelimitată a numărului foarte mic ''n''.

Din moment ce orice număr înmulțit (multiplicat) cu zero este zero, expresia {{sfrac|0|0}} este de asemenea nedefinită, iar atunci când se prezintă sub forma unei [[Limită (matematică)|limite]], devine una din formele de [[nedeterminare]].

Istoric, una dintre cele mai timpurii referințe la imposibilitatea matematică de a conferi o [[valoare (matematică) |valoare]] exactă operației reprezentate de împărțirea cu zero ({{sfrac|''a''|0}}) este conținută în lucrarea lui [[George Berkeley]] din [[1734]], ''[[The Analyst]]'' ("ghosts of departed quantities" - „fantome ale cantităților pierdute”), o lucrare critică la adresa [[Calcul infinitezimal|calcului infinitezimal]].<ref>{{citation
 | last = Cajori | first = Florian | author-link = Florian Cajori
 | journal = The Mathematics Teacheru
 | volume = 22 | issue = 6 | jstor = 27951153
 | pages = 366–368
 | title = Absurdities due to division by zero: An historical note| year = 1929 }}.</ref>

Există structuri matematice în care operația {{sfrac|''a''|0}} este definită pentru unele din numerele "''a''", așa cum ar fi în [[sfera Riemann]] și {{ill-wd| Q2558939||dreapta proiectivă reală extinsă}}; totuși, astfel de structuri nu pot satisface nici o regulă obișnuită din aritmetică (vezi axiome pentru corpuri).

În programele calculatoarelor, o [[programare|eroare de program]] poate rezulta dintr-o încercare de a diviza cu zero. În funcție de mediul de programare și de tipul numărului (de exemplu, în cazul [[Virgulă mobilă|virgulei mobile]] sau a unui [[număr întreg]]) este împărțit la zero, poate genera [[infinit]] (pozitiv sau negativ) de către standardul de virgulă mobilă [[IEEE 754]], generează prin excepție un mesaj de eroare, care este cauza terminării programului, rezultând o valoare specială precum o valoare de tipul [[NaN]], sau o {{ill-wd| Q1363761||blocare}} via unei bucle infinite sau ca rezultat al unei {{ill-wd| Q333501||căderi}}.

Chiar dacă împărțirea cu zero nu are sens în mulțimea [[număr real|numerelor reale]], studiul acestei probleme conduce la noi considerații atât [[matematică|matematice]], cât și logico-[[filosofie|filozofice]] în ceea ce privește concepte de bază ca: [[număr]], [[mulțime]], calcul etc.

== Aritmetica elementară ==
Atunci când diviziunea este explicată la nivelul [[aritmetică|aritmeticii]] elementare, este adesea considerată [[Împărțire (matematică)|divizarea]] unui [[Mulțime (matematică)|mulțimi]] de obiecte în părți egale.

Spre exemplu, având zece fursecuri la dispoziție și aceste prăjiturele să fie distribuite în mod egal unui număr de cinci persoane, aflate la o masă. Fiecare persoană ar primi {{sfrac|10|5}} = 2 fursecuri. În mod similar, dacă există zece fursecuri și doar o singură persoană la masă, acea persoană ar primi {{sfrac| 10|1}} = 10 fursecuri, deci toate cele 10 fursecuri.

Deci, pentru împărțirea la zero, întrebarea devine „''Care este numărul de fursecuri pe care fiecare persoană le primește atunci când cele 10 fursecuri sunt distribuite în mod egal între 0 persoane, aflate la o masă?''” Anumite cuvinte pot fi identificate în întrebare pentru a evidenția problema. Problema cu această întrebare este "când". '''Nu există nici o modalitate de a distribui 10 prăjiturele nimănui.''' În [[Limbaj matematic|jargonul]] matematic, un set de 10 elemente nu poate fi [[partiție (matematică) |partiționat]] în subseturi (submulțimi) de 0 elemente. Deci {{sfrac| 10|0}}, cel puțin în aritmetica elementară, se consideră a fi fie lipsit de sens, fie nedefinit.

==Algebră==
===Împărțirea ca operație inversă înmulțirii===

===Sofisme - Imposibilități - Demonstrații greșite===
{{details|Demonstrație greșită}}
Un motiv convingător pentru a nu permite divizarea prin zero este că, dacă ar fi permisă, vor apărea multe rezultate absurde, efecte ale unor contradicții (adică ''falsități'' sau ''demonstrații greșite'') cum ar fi [[egalitate (matematică) |egalitatea]] a două numere diferite. 

Când se lucrează cu numere este ușor să se determine când se face o încercare  nepermisă de a diviza prin zero. De exemplu în următoarele două „''demonstrații''” de mai jos, ambele încercând a „convinge” că 1 = 2 (!?).

====Prima „demonstrație”====
Dându-se cele de mai jos:
:<math>\begin{align} 0\times 1 &= 0, \\ 0\times 2 &= 0, \end{align}</math>
următoarea egalitate este adevărată:
:<math>0\times 1 = 0\times 2.</math>

Divizând ambii membri ai egalității cu zero, se obține:
:<math>\begin{align} \frac{0\times 1}{0} &= \frac{0\times 2}{0} \\[6px] \frac{0}{0}\times 1 &= \frac{0}{0}\times 2. \end{align}</math>

După simplificare, se obține ... absurdul, falsa egalitate:
:'''<math>1 = 2.</math>'''

Imposibilitatea aici, care conduce la absurditate, este că împărțirea la zero este o operație permisă, cu aceleași proprietăți ca și împărțirea cu orice alt număr nenul.

====A doua „demonstrație”====
Oricum, este posibil să se „mascheze” o împărțire cu zero într-o formă de „disimulare” [[Algebră|algebrică]], care conduce invariant la un alt tip de [[demonstrație greșită]], care „demonstrează” (din nou) că {{math|1=1 = 2}}, precum în cele ce urmează mai jos.<ref>{{harvnb|Bunch|1997|page=15}}</ref>
:Să considerăm egalitatea {{math|1= 1 = ''x''}}.
:Multiplicând ambii membri cu {{mvar|x}} se obține,
::<math>x = x^2.</math> 
:Scăzând {{math|1}} din ambele părți ale egalității, se obține,
::<math>x - 1 = x^2 - 1.</math>
:Divizând ambii membri cu binomul {{math|''x'' − 1}}
::<math>\begin{align} \frac{x-1}{x-1} &= \frac{x^2 -1}{x - 1} \\[6pt] &= \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}, \end{align}</math>
:se obține, după simplificare,
::<math>1 = x + 1.</math>
:Dar, din moment ce {{math|1=''x'' = 1}},
::  <math>1 = 1 + 1 = 2.</math>
Imposibilitatea efectuării operației de împărțire cu zero, aici, este mascată în pasul împărțirii cu binomul {{math|1=''x'' − 1 = 0}} când, de fapt, {{math|1=''x'' = 1}} și binomul împărțitor este zero.

==În analiza matematică==
Din punctul de vedere al [[analiză matematică|analizei matematice]], nedefinirea unei împărțiri la zero poate fi studiată în cadrul [[concept]]ului de [[Limită (matematică)|limită matematică]]. Să presupunem că avem următoarea [[funcție rațională]]:

:<math> f(x) = {n\over x}</math> unde <math>0<n\in \mathbb{R}</math>

Apoi, pentru a analiza valoarea <math>f(0)</math>, se poate folosi o aproximare a limitei, pe partea pozitivă:

:<math> f(0) \simeq \lim_{x \to 0^+}{n\over x} = +\infty</math>

și apoi pe ramura negativă,

:<math> f(0) \simeq \lim_{x \to 0^-}{n\over x} = -\infty</math>

Când valoarea [[argumentul unei funcții|argumentului]] <math>x</math> tinde la zero, fracția <math>n\over x</math> atinge o valoare foarte mare (pozitivă sau negativă). 

Concluzie: când <math>x</math> «tinde» la zero, expresia <math>n\over x</math> se «apropie» de ''[[infinit]]''.

Expresia <math>\tfrac{n}{0}</math> indică [[fapt]]ul că [[fracție|fracția]] este una din cazurile de ''[[nedeterminare]]''.

== Vezi și ==
{{Portal|Matematică|Tehnologia informației}}
* [[Asimptotă]]
* [[Definit și nedefinit]]
* [[Infinit]]
* [[Nedeterminare]]
* [[Punct de acumulare (matematică)]]
* [[Zero]]

==Note==
<references />
==Bibliografie==
{{wikinews|British computer scientist's new "nullity" idea provokes reaction from mathematicians}}
{{refbegin}}
* Jakub Czajko (July 2004) "{{doi-inline|10.1016/j.chaos.2003.12.046|On Cantorian spacetime over number systems with division by zero}}", ''Chaos, Solitons and Fractals'', volume 21, number 2, pages 261–271.
* {{cite web|url=http://www.badscience.net/?p=335|title=Maths Professor Divides By Zero, Says BBC|date=2006-12-07|author=Ben Goldacre|author-link=Ben Goldacre}}
* [http://www.metaphysica.de/texte/mp2005_2-Cooke.pdf To Continue with Continuity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190921011602/http://www.metaphysica.de/texte/mp2005_2-Cooke.pdf |date=2019-09-21 }} ''Metaphysica'' 6, pp.&nbsp;91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.
{{refend}}

==Legături externe==
* [http://pentagonia.ro/impartirea-la-zero-in-primar/ Împărțirea la zero (în ciclul primar)]

[[Categorie:0 (număr)]]
[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Anomalii software]]
[[Categorie:Aritmetica calculatoarelor]]
[[Categorie:Erori numerice]]
[[Categorie:Fracții]]
[[Categorie:Infinit]]
[[Categorie:Împărțire (matematică)]]
[[Categorie:Operații matematice|^ ]]